如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=-x+6交y轴于点A,交x轴于点B,点C、B关于原点对称,点P在射线AB

如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=-x+6交y轴于点A,交x轴于点B,点C、B关于原点对称,点P在射线AB上运动,连接CP交y轴于点D,连接BD.过P、D、B三点作圆Q于y轴交于另一点E,延长DQ交圆Q于F,连接EF,BF.（1）当P在线段AB(不包括A,B两点)上时,求证DE=EF；(2)、请探究：点P在运动过程中,是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形,满足两直角边比为2:如果存在求出此时P点坐标,如果不存在说明理由.

郭敦顒回答：
O为坐标原点,直线y=－x+6交y轴于点A,交x轴于点B,点C、B关于原点对称,点P在射线AB上运动,连接CP交y轴于点D,连接BD.过P、D、B三点作圆Q于y轴交于另一点E,延长DQ交圆Q于F,连接EF,BF.,
点A的坐标为A（0,6）,点B的坐标为B（6,0）,点C的坐标为C（－6,0）,∠DCB=∠DBC,∠PCB=∠DCB（同角）,∠OAB=∠OBA=45°,
（1）当P在线段AB(不包括A,B两点)上时,求证DE=EF；
作DGX轴交B⌒P于G,则
∠DCB= ∠PDG（平行则同位角相等）,
∠PDG=（1/2）P⌒G（圆周角）,
∵∠PDB=∠DCB+∠DBC=2∠DCB
∴2∠DCB=∠PDB=∠PDG+∠GDB
∴∠DCB=∠GDB,P⌒G=B⌒G,
连GQ交X轴GF于K,交PB于M,则GQ⊥AB,
（取DG中点N,连QN,则QN⊥DG）
∴QG的斜率k1=－1/k=1,∠GKB=45°,
∵∠QGD=∠GKB（平行则内错角相等）,∴∠QGD=45°,
∵∠QDG=∠QGD,∴∠QDG=45°
∴∠EDF=180°－45°=45°,
∵∠DEF是半圆周角,∴∠DEF=90°,
∴∠DFE=180°－45°=45°,
∴DE=EF.
(2)、请探究：点P在运动过程中,是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形,满足两直角边比为2:如果存在求出此时P点坐标,如果不存在说明理由.
当在Rt⊿BDF中,BD：BF=2：1时,cot∠BDF=BD/BF=2/1=2
∴∠BDF=26.565°,
∴∠BDG=45°－26.565°=18.435°,∠PCB=2∠BDG=36.87°,
此时,OC：OD=4：3,6：OD=4：3,OD=18/4=9/2,
OD=9/2,点D在OA间,∴OD=9/2存在,
存在以B、D、F为顶点的直角三角形,满足两直角边比为2：1.
点D的坐标为D（0,9/2）,
CD的直线方程按两点式有：（y－0）/（x+6）=（0－9/2）/（－6－0）=3/4,
y=（3/4）x+9/2,与y=－x+6联立得,（3/4）x+9/2=－x+6,
3x+18=－4x+24,7x=6,x=6/7,y=－x+6=36/7,
∴点P的坐标为P（6/7,36/7）.
                             Y

 
   
 

                              A（0,6）
 
 
 
                                        P

 
   
 

                           D        N          G
                                           M
    C（－6,0）          O           K           B（6,0）
                                                             X
                                       Q
 
 
                          E                    F

 
   
 

（图中未绘出圆形）

再问： 问题2中一定要用三角函数吗，考试时候又不能查三角函数表......还有，不需要讨论其他情况吗？是否存在∠BFD或∠BDF=90°？请证明谢谢。
再答： 郭敦顒继续回答：
考试时候不会出这么难的题。问题2中是否一定要用三角函数？可以思考，现在尚无定论。
“OD=9/2，点D在OA间，∴OD=9/2存在，
存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两直角边比为2：1。“
那么其他情况即不存在。
是否存在∠BFD或∠BDF=90°？答复是否定的。
∵DF是直径，∠DBF为半圆周角，
∴∠DBF=90°，
而一个三角形中不能有两个直角，∴∠BDF＜90°，∠BFD＜90°。
再问： ...请教一下...最后一题我证明出来并不存在：

再答： 郭敦顒继续回答：
设BF=x，则BD=2x，DF= x√5，OH=DG=EF= [（1/2）√10] x，
BH=6－[（1/2）√10] x，BH/OD=BF/BD=x/（2x）=1/2，
∴OD=2{6－[（1/2）√10] x }=12－x√10，这是对的，
接下来是——
在t⊿DOB中，（12－x√10）² + 6² = (2x) ²
144－（24√10）x+10x²+36=4x²，
6x²－（24√10）x+108=0，x²－（4√10）x+18=0，x=2√10－√22，
但是你给出的“Rt△DOB中，12-√10x)^2 + 6^2 = (2x)^2 化简得：x^2-4x+30=0 △＜0，原方程无解”中产生了错误，你查一下吧。
再问： (12－x√10）² + 6² = (2x) ²
144－（24√10）x+10x²+36=4x²，
6x²－（24√10）x+180=0 —— 144+36=180啊，怎么会等于108呢？！
x^2-4x+30=0
△＜0
请再次检查答案并帮我核查一下P在射线AB上运动到x轴下方时的情况是否正确。
（悬赏已提高）
再答： 郭敦顒继续回答：
我在计算中也发生了错误——
在“144－（24√10）x+10x²+36=4x²，”之后，应是
6x²－（24√10）x+180=0，x²－（4√10）x+30=0，
x=2√10－√10=√10。
而“6x²－（24√10）x+108=0，x²－（4√10）x+18=0，x=2√10－√22，”错误。
你给出的“x^2-4x+30=0”中的4x，应是（4√10）x，漏掉了√10。
∵x=√10，∴BF=√10，BD=2√10，
OD=√（40－36）=2
∴点D的坐标为D（0，2），
CD的直线方程按两点式有：（y－0）/（x+6）=（0－2）/（－6－0）=1/3
y=（1/3）x+2，与y=－x+6联立得，（1/3）x+2=－x+6，
x+6=－3x+18，4x=12，x=3，y=－x+6=3，
∴点P的坐标为P（3，3）。点P位于AB中点上。
原回答与此不符，我将仔细检查错误发生在哪里。
是了，∠BDG=45°－26.565°=18.435°，接下来应是∠PCB=∠BDG=18.435°，
而原给出“∠PCB=2∠BDG=36.87°”就错了。
OD=6 tan18.435°=2，与OD=√（40－36）=2的计算结果一致。
谢谢你！你的不断追问，让我们纠正了错误，共同提高。
P在射线AB上运动到x轴下方时的情况是否正确？
在Rt⊿ODB中，BD= x ，OD=[（1/4）√10] x－3，OB=6，
∴x²={[（1/4）√10] x－3}²+6²=（10/16）x²－[（3/2）√10] x+9+36
8x²=5x²－（12√10）x+360，3x²+（12√10）x－360=0，
x²+（4√10）x－120=0，x=－2√10+4√10=2√10，
x=2√10，BD=2√10，
再问： -x/3-2=-x+6
x=12
∴P(12,-6)
谢谢您的出色解答！也为您认真负责的态度致敬！以后如果还有问题还向您请教！谢谢！
再答： 郭敦顒继续回答：
能帮助你，我感到高兴，不必客气。你也很有钻研认真的精神，值得肯定，不断学习定会取得好成绩。
也谢谢你。