已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点B（2,0）和点C（0,8）,且它的对称轴是直线x=-2

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/23 02:15:21

已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点B（2,0）和点C（0,8）,且它的对称轴是直线x=-2
（1）求抛物线与x轴的另一交点A坐标
（2）求抛物线的解析式
（3）连接AC、BC若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合）,过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状；若不存在,请说明理由

（1）因为抛物线的对称轴是直线x=-2,而点A、点B都是抛物线与x轴的交点,所以这两个点关于直线x=-2对称  ,因为点B的坐标为（2,0）,到直线x=-2的距离为4,所以点A到直线x=-2的距离也为4,故点A的坐标为（-6,0）
（2）知道了抛物线与X轴的两个交点,可以设抛物线的解析为：y=a(x+6)(x-2)  ,因为抛物线经过点C（0,8）,所以 8=a×6×(-2)   解得a=－⅔
所以抛物线的解析式为y=－⅔(x+6)(x-2)
(3)如图,过点F作FD⊥AB于点D,∵EF∥AC    ∴∠CAB=∠FEB      又∵∠FBE=∠CBA    ∴△ABC∽△EBF   ∴AB:EB=CO:FD(相似三角形对应高的比等于相似比)    ∵AB=8        CO=8
AE=m,            ∴BE=8-m                ∴8：（8-m）=8：FD
                                 ∴FD=8-m
S=S△ABC－S△AEC－S△EBF
  =½AB·CO－½AE·CO－½BE·FD
  =½×8×8－½m×8－½﹙8-m）﹙8-m）
=－½m²+4m
  ∴S=－½m²+4m    (0<m<8)
(4) S=－½m²+4m=－½(m-4)²+8   故当m=4是,S有最大值为8  此时点E的坐标为（－2,0）
因为EO=BO,CO⊥BE
所以△BCE为等腰三角形