作业帮在坐标轴内直线关于点对称怎么求?直线关于直线的对称怎么求?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 01:26:53
在坐标轴内直线关于点对称怎么求?直线关于直线的对称怎么求?
点关于点的对称问题,是对称问题中最基础最重要的一类,其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸,处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1,②两点的中点在已知直线上.
直线关于点的对称问题,可转化为直线上的点关于某点对称的问题,这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.
例 求直线2x+11y+16=0关于点P（0,1）对称的直线方程.
分析 本题可以利用两直线平行,以及点P到两直线的距离相等求解,也可以先在已知直线上取一点,再求该点关于点P的对称点,代入对称直线方程待定相关常数.
解法一 由中心对称性质知,所求对称直线与已知直线平行,故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.由点到直线距离公式,得 ,
即|11+c|=27,得c=16（即为已知直线,舍去）或c= -38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8,0）,则点A（-8,0）关于P（0,1）的对称点的B（8,2）.由中心对称性质知,所求对称直线与已知直线平行,故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.
将B（8,2）代入,解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行,再由点（对称中心）到此两直线距离相等,而求出c,使问题解决,而解法二是转化为点关于点对称问题,利用中点坐标公式,求出对称点坐标,再利用直线系方程,写出直线方程.本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.
直线关于直线对称问题,包含有两种情形：①两直线平行,②两直线相交.对于①,我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②,其一般解法为先求交点,再用“到角”,或是转化为点关于直线对称问题.
例 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
分析 由题意,所给的两直线l1,l2为平行直线,求解这类对称总是,我们可以转化为点关于直线的对称问题,再利用平行直线系去求解,或者利用距离相等寻求解答.
解 根据分析,可设直线l的方程为x-y+c=0,在直线l1：x-y-1=0上取点M（1,0）,则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1,2）,
将N的坐标代入方程x-y+c=0,解得c=3,
故所求直线l的方程为x-y+3=0.
点评 将对称问题进行转化,是我们求解这类问题的一种必不可少的思路.另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式,然后再在直线l2上的任取一点,在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸,处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1,②两点的中点在已知直线上.
直线关于点的对称问题,可转化为直线上的点关于某点对称的问题,这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.
例 求直线2x+11y+16=0关于点P（0,1）对称的直线方程.
分析 本题可以利用两直线平行,以及点P到两直线的距离相等求解,也可以先在已知直线上取一点,再求该点关于点P的对称点,代入对称直线方程待定相关常数.
解法一 由中心对称性质知,所求对称直线与已知直线平行,故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.由点到直线距离公式,得 ,
即|11+c|=27,得c=16（即为已知直线,舍去）或c= -38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8,0）,则点A（-8,0）关于P（0,1）的对称点的B（8,2）.由中心对称性质知,所求对称直线与已知直线平行,故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.
将B（8,2）代入,解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行,再由点（对称中心）到此两直线距离相等,而求出c,使问题解决,而解法二是转化为点关于点对称问题,利用中点坐标公式,求出对称点坐标,再利用直线系方程,写出直线方程.本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.
直线关于直线对称问题,包含有两种情形：①两直线平行,②两直线相交.对于①,我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②,其一般解法为先求交点,再用“到角”,或是转化为点关于直线对称问题.
例 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
分析 由题意,所给的两直线l1,l2为平行直线,求解这类对称总是,我们可以转化为点关于直线的对称问题,再利用平行直线系去求解,或者利用距离相等寻求解答.
解 根据分析,可设直线l的方程为x-y+c=0,在直线l1：x-y-1=0上取点M（1,0）,则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1,2）,
将N的坐标代入方程x-y+c=0,解得c=3,
故所求直线l的方程为x-y+3=0.
点评 将对称问题进行转化,是我们求解这类问题的一种必不可少的思路.另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式,然后再在直线l2上的任取一点,在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.