（2014•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 14:35:07

（2014•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x²+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=

（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（-4，4）．
∴点C的坐标是（0，4）
把A、C两点的坐标代入y=-x²+bx+c得，

4＝−16−4b+c
4＝c，
解得

b＝−4
c＝4；
②四边形AOBD是平行四边形；
理由如下：
由①得抛物线的解析式为y=-x²-4x+4，

∴顶点D的坐标为（-2，8），
过D点作DE⊥AB于点E，
则DE=OC=4，AE=2，
∵AC=4，
∴BC=
1
2AC=2，
∴AE=BC．
∵AC∥x轴，
∴∠AED=∠BCO=90°，
∴△AED≌△BCO，
∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，
∴AD∥BO，
∴四边形AOBD是平行四边形．

（2）存在，点A的坐标可以是（-2
2，2）或（2
2，2）
要使四边形AOBD是矩形；
则需∠AOB=∠BCO=90°，
∵∠ABO=∠OBC，
∴△ABO∽△OBC，
∴
BC
OB=
BO
AB，
又∵AB=AC+BC=3BC，
∴OB=
3BC，
∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=
2BC，AC=
2OC，
∵C点是抛物线与y轴交点，
∴OC=c，
∴A点坐标为（-
2c，c），
∴顶点横坐标
b
2=

2
2c，b=
2c，
∵将A点代入可得c=-（-
2c）²+
2c•
2c+c，
∴横坐标为±
2c，纵坐标为c即可，
令c=2，
∴A点坐标可以为（2
2，2）或者（-2
2，2）．