作业帮高数,无穷级数求第四题解答过程
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 19:27:09
高数,无穷级数求第四题解答过程
记b[n] = a^n·n!/n^n.
则|b[n+1]/b[n]| = |a|·(n+1)·n^n/(n+1)^(n+1) = |a|/(1+1/n)^n.
由数列(1+1/n)^n严格单调递增收敛到e,有(1+1/n)^n < e.
因此当|a| ≥ e时,|b[n+1]/b[n]| = |a|/(1+1/n)^n ≥ e/(1+1/n)^n > 1,故|b[n]|单调递增.
|b[n]| ≥ |b[1]| = |a| ≥ e,因此b[n]不能收敛到0,级数∑b[n]发散.
而当|a| < e时,由|b[n+1]/b[n]| = |a|/(1+1/n)^n → |a|/e < 1,
根据比值判别法,级数∑b[n](绝对)收敛.
综上,级数收敛当且仅当-e < a < e.
注:对|a| > e其实也可以用比值判别法证明发散.
但当|a| = e时|b[n+1]/b[n]| → 1,不适用比值判别法,
采取的办法是直接说明b[n]不收敛到0.
则|b[n+1]/b[n]| = |a|·(n+1)·n^n/(n+1)^(n+1) = |a|/(1+1/n)^n.
由数列(1+1/n)^n严格单调递增收敛到e,有(1+1/n)^n < e.
因此当|a| ≥ e时,|b[n+1]/b[n]| = |a|/(1+1/n)^n ≥ e/(1+1/n)^n > 1,故|b[n]|单调递增.
|b[n]| ≥ |b[1]| = |a| ≥ e,因此b[n]不能收敛到0,级数∑b[n]发散.
而当|a| < e时,由|b[n+1]/b[n]| = |a|/(1+1/n)^n → |a|/e < 1,
根据比值判别法,级数∑b[n](绝对)收敛.
综上,级数收敛当且仅当-e < a < e.
注:对|a| > e其实也可以用比值判别法证明发散.
但当|a| = e时|b[n+1]/b[n]| → 1,不适用比值判别法,
采取的办法是直接说明b[n]不收敛到0.