作业帮麻烦讲解一下这个带绝对值的二重积分的几何意义,
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 21:56:36
麻烦讲解一下这个带绝对值的二重积分的几何意义,
二重积分的的几何意义本身就是计算空间几何体的体积.该几何体的底面显然是一个圆的内部（含圆的边界）,该圆的表达式为x²+y²=3²,即圆的圆心为（0,0）,半径为3；几何体的高度为z=f（x,y）=|x²+y²-4|.
几何体的高度z为正值,但（x²+y²-4）在区域D内并非都是正值：只有在x²+y²>2²这个圆的外部时,（x²+y²-4）>0而取正值；当在这个圆内部时,取负值.
所以原积分分解成为两个积分的和,就可以去掉绝对值符号：
原积分=∫∫(D1)（-x²-y²+4）dv+∫∫(D2)（x²+y²-4）dv,其中D1：x²+y²≤4；D2：4≤x²+y²≤9.然后利用极坐标积分的变换,就很容易求出积分的值了.
再问： 你好，非常感谢你的悉心解答，不好意思，是我没有描述清楚，我主要是想知道这个几何体的形状，z=x²+y²–4是不是旋转抛物面呢？
再答： 这个几何体的形状真不好描述。根据积分关系式，显然其形状也分为两部分：一部分为底面区域为x²+y²≤2²的圆，其高度为z=-x²-y²+4，形状为一个圆锥；另一部分底面为圆环，表达式为2²≤x²+y²≤3²，高度为z=x²+y²-4，这时的形状应该是一个倒置的圆台。
几何体的高度z为正值,但（x²+y²-4）在区域D内并非都是正值：只有在x²+y²>2²这个圆的外部时,（x²+y²-4）>0而取正值；当在这个圆内部时,取负值.
所以原积分分解成为两个积分的和,就可以去掉绝对值符号：
原积分=∫∫(D1)（-x²-y²+4）dv+∫∫(D2)（x²+y²-4）dv,其中D1：x²+y²≤4；D2：4≤x²+y²≤9.然后利用极坐标积分的变换,就很容易求出积分的值了.
再问： 你好，非常感谢你的悉心解答，不好意思，是我没有描述清楚，我主要是想知道这个几何体的形状，z=x²+y²–4是不是旋转抛物面呢？
再答： 这个几何体的形状真不好描述。根据积分关系式，显然其形状也分为两部分：一部分为底面区域为x²+y²≤2²的圆，其高度为z=-x²-y²+4，形状为一个圆锥；另一部分底面为圆环，表达式为2²≤x²+y²≤3²，高度为z=x²+y²-4，这时的形状应该是一个倒置的圆台。