作业帮设函数f（x）在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f（x）的值都在开区间（0，1）内，且f′（x）
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 00:07:59
设函数f（x）在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f（x）的值都在开区间（0，1）内，且f′（x）≠1，证明在（0，1）内有且仅有一个x，使得f（x）=x．
证明：令g（x）=f（x）-x x∈（0，1）
因为：0＜f（x）＜1
所以：g（0）=f（0）-0=f（0）＞0
g（1）=f（1）-1＜0
所以：g（0）g（1）＜0，
因为函数f（x）可微分，故f（x）连续，因此g（x）肯定连续
根据零点定理，可知，在x∈（0，1）上，至少有一个点满足：
g（ɛ）=0，ɛ∈（0，1）
即：f（ɛ）-ɛ=0，
f（ɛ）=ɛ．
假设存在两个或两个以上的点满足f（x）=x
设x1，x2为其中的两个点，x1≠x2．则有：
f（x1）=x1，f（x2）=x2，
既有：g（x1）=0；
g（x2）=0；
根据拉格朗日定理有：
g（x2）-g（x1）=g'（ξ）（x2-x1）=0 ξ∈（0，1）
因为：x1≠x2
所以必有：
g'（ξ）=0
因为g'（x）=f'（x）-1
即有：g'（ξ）=f'（ξ）-1=0
因此：f'（ξ）=1
与题设矛盾，故不存在两个或者两个以上的点满足f（x）=x．
综上所述：f（x）在x∈（0，1）有且仅有一个x满足f（x）=x．
因为：0＜f（x）＜1
所以：g（0）=f（0）-0=f（0）＞0
g（1）=f（1）-1＜0
所以：g（0）g（1）＜0，
因为函数f（x）可微分，故f（x）连续，因此g（x）肯定连续
根据零点定理，可知，在x∈（0，1）上，至少有一个点满足：
g（ɛ）=0，ɛ∈（0，1）
即：f（ɛ）-ɛ=0，
f（ɛ）=ɛ．
假设存在两个或两个以上的点满足f（x）=x
设x1，x2为其中的两个点，x1≠x2．则有：
f（x1）=x1，f（x2）=x2，
既有：g（x1）=0；
g（x2）=0；
根据拉格朗日定理有：
g（x2）-g（x1）=g'（ξ）（x2-x1）=0 ξ∈（0，1）
因为：x1≠x2
所以必有：
g'（ξ）=0
因为g'（x）=f'（x）-1
即有：g'（ξ）=f'（ξ）-1=0
因此：f'（ξ）=1
与题设矛盾，故不存在两个或者两个以上的点满足f（x）=x．
综上所述：f（x）在x∈（0，1）有且仅有一个x满足f（x）=x．
设函数f（x）在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f（x）的值都在开区间（0，1）内，且f′（x）
设函数f（x）=-x3+bx（b为常数），若方程f（x）=0的根都在区间[-2，2]内，且函数f（x）在区间（0，1）上
定义在区间（0,正无穷大）上的函数f(x)满足 f(x1/x2)=f(x1)-f(x2) ,且当 x>1 时,f(x)
设f(x)是定义在区间U上的增函数,且f(x)＞0,则下列函数中增函数的个数是（ ） ①y=1-f(x)②y=1/f(x
η设函数f(x)在闭区间（1,1）上连续,在开区间（0,1）内可导,且f(1)=0是证明在开区间（0,1）内至少存在
已知函数f(x)=-x^3+bx(b为常数）在区间（0,1）上单调递增且方程f(X)=0的根都在区间[-2,2]内,则b
定义在R上的偶函数f（x）满足f(x+1)=—f(x),且f（x）在闭区间【-1,0】上为递增函数,则比较f（3）,f（
在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2-x），若在区间[1，2]上f′（x）＞0，则f（x）（ ）
定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)是区间（0,正无穷）上递增函数
二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f（0）=1,在区间【-1,1】上,函数y=f(x)的图像恒在直线y
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可导,且f(0)×f(1)
高数题求解.设函数f（x）在0到1上闭区间连续,证明