作业帮用向量的坐标运算法证明三角形的三条高线交于一点
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 07:23:19
用向量的坐标运算法证明三角形的三条高线交于一点
证明：以AB边为x轴,AB边上的高为y轴(垂足为原点)建立直角坐标系,设A(a,0),B(b,0),C(0,c),且a≠b．
BC边与AC边的高线交于点P(x,y),
(向量)BP＝(x-b,y),AP＝(x-a,y)
BC＝(-b,c),AC＝(-a,c)
∵ AC⊥BP
∴ AC·BP ＝0
∴ (-a)·(x-b)＋cy=0 ①
又 BC⊥AP ,BC·AP＝0
∴ (-b)·(x-a)＋cy=0 ②
由①,②得(a-b)x＝0,
∵ a≠b,∴ x＝0,∴ 点P在AB边上的高线上,
∴ 三角形三条高线相交于一点．
BC边与AC边的高线交于点P(x,y),
(向量)BP＝(x-b,y),AP＝(x-a,y)
BC＝(-b,c),AC＝(-a,c)
∵ AC⊥BP
∴ AC·BP ＝0
∴ (-a)·(x-b)＋cy=0 ①
又 BC⊥AP ,BC·AP＝0
∴ (-b)·(x-a)＋cy=0 ②
由①,②得(a-b)x＝0,
∵ a≠b,∴ x＝0,∴ 点P在AB边上的高线上,
∴ 三角形三条高线相交于一点．