作业帮高中一道难度一般的导数大题的2、3小题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 23:00:31
高中一道难度一般的导数大题的2、3小题
/>(1)
∵f'(x)＝x²＋2ax－b
∴f'(1)＝1＋2a－b
又∵函数在x＝1处的切线与直线x－y＋1=0平行
∴在x＝1处的切线的斜率等于1
∴f'(1)＝1
∴b＝2a ①
∵f(x)有极值
故方程f'(x)＝x²＋2ax－b＝0有两个不等实根
∴Δ(根判别式)＝4a²＋4b＞0
∴a²＋b＞0 ②
由①、②得：
a²＋2a＞0
∴a＜－2或a＞0
故实数a的取值范围是：(－∞,－2)∪(0,＋∞)
(2)
存在,a＝－8/3
∵f'(x)＝x²＋2ax－b
令f'(x)＝0
∴x1＝－a－√(a²＋2a),x2＝－a＋√(a²＋2a)
x (－∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴f(x)极小＝f(x2)＝(1/3)x2³＋ax2²－2ax2＋1＝1
∴x2＝0或x2²＋3ax2－6a＝0
若x2＝0,即－a＋√(a²＋2a)＝0,则a＝0(舍)
若x2²＋3ax2－6a＝0,又f'(x2)＝0
∴x2²＋2ax2－2a＝0
∴ax2－4a＝0
∵a≠0
∴x2＝4
∴－a＋√(a²＋2a)＝4
∴a＝－8/3＜－2
∴存在实数a＝－8/3,使得函数f(x)的极小值为1
(3)
∵a＝1/2,f'(x)＝x²＋x－1
∴f'(x＋1)＝x²＋3x＋1
∴[f'(x＋1)/x]－3＝[(x²＋3x＋1)/x]－3＝(x²＋1)/x＝x＋(1/x)
∴g(x)＝x＋(1/x),x∈(0,＋∞)
证明：
当n＝1时,左边＝0,右边＝0,原式成立
假设当n＝k时结论成立,即[x＋(1/x)]^k－(x^k)－[1/(x^k)]≥(2^k)－2
当n＝k＋1时,
左边＝[x＋(1/x)]^(k＋1)－[x^(k＋1)]－[1/x^(k＋1)] ≥ [x＋(1/x)]•[(2^k)－2＋(x^k)＋(1/x^k)]－[x^(k＋1)＋1/x^(k＋1)]＝[x＋(1/x)]•[(2^k)－2]＋x^(k－1)＋[1/x^(k－1)] ≥ 2^(k＋1)－4＋2＝2^(k＋1)－2
当且仅当x＝1时等号成立,即当n＝k＋1时原式也成立
综上,当n∈N+时,g^n(x)－(x^n)－(1/x^n) ≥ (2^n)－2成立
【数学归纳法证明不等式】
∵f'(x)＝x²＋2ax－b
∴f'(1)＝1＋2a－b
又∵函数在x＝1处的切线与直线x－y＋1=0平行
∴在x＝1处的切线的斜率等于1
∴f'(1)＝1
∴b＝2a ①
∵f(x)有极值
故方程f'(x)＝x²＋2ax－b＝0有两个不等实根
∴Δ(根判别式)＝4a²＋4b＞0
∴a²＋b＞0 ②
由①、②得：
a²＋2a＞0
∴a＜－2或a＞0
故实数a的取值范围是：(－∞,－2)∪(0,＋∞)
(2)
存在,a＝－8/3
∵f'(x)＝x²＋2ax－b
令f'(x)＝0
∴x1＝－a－√(a²＋2a),x2＝－a＋√(a²＋2a)
x (－∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴f(x)极小＝f(x2)＝(1/3)x2³＋ax2²－2ax2＋1＝1
∴x2＝0或x2²＋3ax2－6a＝0
若x2＝0,即－a＋√(a²＋2a)＝0,则a＝0(舍)
若x2²＋3ax2－6a＝0,又f'(x2)＝0
∴x2²＋2ax2－2a＝0
∴ax2－4a＝0
∵a≠0
∴x2＝4
∴－a＋√(a²＋2a)＝4
∴a＝－8/3＜－2
∴存在实数a＝－8/3,使得函数f(x)的极小值为1
(3)
∵a＝1/2,f'(x)＝x²＋x－1
∴f'(x＋1)＝x²＋3x＋1
∴[f'(x＋1)/x]－3＝[(x²＋3x＋1)/x]－3＝(x²＋1)/x＝x＋(1/x)
∴g(x)＝x＋(1/x),x∈(0,＋∞)
证明：
当n＝1时,左边＝0,右边＝0,原式成立
假设当n＝k时结论成立,即[x＋(1/x)]^k－(x^k)－[1/(x^k)]≥(2^k)－2
当n＝k＋1时,
左边＝[x＋(1/x)]^(k＋1)－[x^(k＋1)]－[1/x^(k＋1)] ≥ [x＋(1/x)]•[(2^k)－2＋(x^k)＋(1/x^k)]－[x^(k＋1)＋1/x^(k＋1)]＝[x＋(1/x)]•[(2^k)－2]＋x^(k－1)＋[1/x^(k－1)] ≥ 2^(k＋1)－4＋2＝2^(k＋1)－2
当且仅当x＝1时等号成立,即当n＝k＋1时原式也成立
综上,当n∈N+时,g^n(x)－(x^n)－(1/x^n) ≥ (2^n)－2成立
【数学归纳法证明不等式】