作业帮高数啦.求微积分方程的通解.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 00:13:13
高数啦.求微积分方程的通解.
能看见的两题.第一题叫微积分方程,第二题叫微分方程.不是说y`等同于dy/dx吗?
还有求通解,通解.
能看见的两题.第一题叫微积分方程,第二题叫微分方程.不是说y`等同于dy/dx吗?
还有求通解,通解.
1.求微分方程(1+x²)y'=arctanx的通解
(1+x²)(dy/dx)=arctanx,分离变量得：
dy=[(arctanx)/(1+x²)]dx
积分之,即得通解为：y=∫[(arctanx)/(1+x²)]dx=∫(arctanx)d(arctanx)=(1/2)(arctanx)²+C
2.求微分方程dy/dx-2y/(x+1)=(x+1)^(3/2)的通解.
先求齐次方程dy/dx-2y/(x+1)=0的通
dy/dx=2y/(x+1)；分离变量得dy/y=2dx/(x+1)；
积分之得lny=2ln(x+1)+lnC₁=ln[C₁(x+1)²]；
故得y=C₁(x+1)²；
将C₁换成x的函数u,得y=u(x+1)².(1)；
将(1)得两边对x取导数得：dy/dx=2u(x+1)+(x+1)²(du/dx).(2)；
将(1)和(2)代入原方程得：
2u(x+1)+(x+1)²(du/dx)-2u(x+1)=(x+1)^(3/2)
化简得(x+1)²(du/dx)=(x+1)^(3/2)
化简并分离变量得du=dx/√(1+x)；积分之得u=∫dx/√(x+1)=∫d(x+1)/√(x+1)=2√(x+1)+C.(3)
将(3)代入(1)式即得通解为：y=[2√(x+1)+C](x+1)²=2(x+1)^(5/2)+C(x+1)².
【所谓“微积分方程”在只有微分的情况下就是微分方程,只有积分的情况下叫积分方程；又有
微分,又有积分时才叫微积分方程.你这两个方程里,只有微分,故都是微分方程.】
再问： 第一题不是叫微积分方程吗？
再答： 微积分方程是微分方程，积分方程的总称、俗称，你不必去细究这些词儿。
(1+x²)(dy/dx)=arctanx,分离变量得：
dy=[(arctanx)/(1+x²)]dx
积分之,即得通解为：y=∫[(arctanx)/(1+x²)]dx=∫(arctanx)d(arctanx)=(1/2)(arctanx)²+C
2.求微分方程dy/dx-2y/(x+1)=(x+1)^(3/2)的通解.
先求齐次方程dy/dx-2y/(x+1)=0的通
dy/dx=2y/(x+1)；分离变量得dy/y=2dx/(x+1)；
积分之得lny=2ln(x+1)+lnC₁=ln[C₁(x+1)²]；
故得y=C₁(x+1)²；
将C₁换成x的函数u,得y=u(x+1)².(1)；
将(1)得两边对x取导数得：dy/dx=2u(x+1)+(x+1)²(du/dx).(2)；
将(1)和(2)代入原方程得：
2u(x+1)+(x+1)²(du/dx)-2u(x+1)=(x+1)^(3/2)
化简得(x+1)²(du/dx)=(x+1)^(3/2)
化简并分离变量得du=dx/√(1+x)；积分之得u=∫dx/√(x+1)=∫d(x+1)/√(x+1)=2√(x+1)+C.(3)
将(3)代入(1)式即得通解为：y=[2√(x+1)+C](x+1)²=2(x+1)^(5/2)+C(x+1)².
【所谓“微积分方程”在只有微分的情况下就是微分方程,只有积分的情况下叫积分方程；又有
微分,又有积分时才叫微积分方程.你这两个方程里,只有微分,故都是微分方程.】
再问： 第一题不是叫微积分方程吗？
再答： 微积分方程是微分方程，积分方程的总称、俗称，你不必去细究这些词儿。