作业帮线性代数里,为什么只有实对称矩阵才能使用斯密特正交化,而非实对称矩阵不需要斯密特正交化.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 11:59:54
线性代数里,为什么只有实对称矩阵才能使用斯密特正交化,而非实对称矩阵不需要斯密特正交化.
不好意思，分就这么多了，没分了，
不好意思，分就这么多了，没分了，
因为如果一个矩阵能够通过正交矩阵变换正交化一定可以写成PDP^-1=PDP^t
因此这个矩阵的转置 (PDP^t)^t=(P^t)^t D^t P^t=PDP^t是它自己,因此有实对称矩阵才能使用斯密特正交化.
而对于非实对称矩阵不需要斯密特正交化,但可以通过酉矩阵使之正交化,但对角矩阵中对角元不是实数.
再问： 真诚请教高手！ 非实对称矩阵在可以相似对角化的前提下，由非线性相关的特征向量构成的p是否一定可以完成对角化？在书本中对此方法并没有加前提，似乎是针对一般可对角化矩阵。若如此，是否可将实对称矩阵作为一般矩阵的特殊情况对待。这样，对是对称矩阵就似乎有两种理解，1是采用一般矩阵的方法2是正交矩阵的方法。
再答： 非实对称矩阵不一定能够对角化，如果对应相同本征值（代数简并数）的本征矢量简并，不能张开成与本征值个数一样的空间，则无法对角化，可以相似于Jordan形式。 这种情况发生是很偶然的，在无穷小的微扰下（这个矩阵作微小改变）就打破了这种情形，因此在数值计算中不会出现，因为计算机的舍入误差会起到微扰作用。 —————————————————————————————————————————— 对是对称矩阵就似乎有两种理解，1是采用一般矩阵的方法2是正交矩阵的方法。 ：：：：：：：： 对的。 但是殊途同归。
因此这个矩阵的转置 (PDP^t)^t=(P^t)^t D^t P^t=PDP^t是它自己,因此有实对称矩阵才能使用斯密特正交化.
而对于非实对称矩阵不需要斯密特正交化,但可以通过酉矩阵使之正交化,但对角矩阵中对角元不是实数.
再问： 真诚请教高手！ 非实对称矩阵在可以相似对角化的前提下，由非线性相关的特征向量构成的p是否一定可以完成对角化？在书本中对此方法并没有加前提，似乎是针对一般可对角化矩阵。若如此，是否可将实对称矩阵作为一般矩阵的特殊情况对待。这样，对是对称矩阵就似乎有两种理解，1是采用一般矩阵的方法2是正交矩阵的方法。
再答： 非实对称矩阵不一定能够对角化，如果对应相同本征值（代数简并数）的本征矢量简并，不能张开成与本征值个数一样的空间，则无法对角化，可以相似于Jordan形式。 这种情况发生是很偶然的，在无穷小的微扰下（这个矩阵作微小改变）就打破了这种情形，因此在数值计算中不会出现，因为计算机的舍入误差会起到微扰作用。 —————————————————————————————————————————— 对是对称矩阵就似乎有两种理解，1是采用一般矩阵的方法2是正交矩阵的方法。 ：：：：：：：： 对的。 但是殊途同归。
线性代数里,为什么只有实对称矩阵才能使用斯密特正交化,而非实对称矩阵不需要斯密特正交化.
线性代数问题,关于斯密特正交化,斯密特只是对实对称矩阵而言的?那非实对称矩阵有没有正交化的说法?不懂啊,
线性代数实对称矩阵特征向量正交
非对称矩阵能正交化吗?
线性代数,施密特正交化,课本有说,正交矩阵化实对称矩阵A为对角矩阵步骤：
为什么相似矩阵对角化时特征向量不需要正交化单位化,而在实对称矩阵对角化时需要
线性代数 正交矩阵是否是对称矩阵?
实对称矩阵特征向量正交化后还是特征向量吗
线性代数中对称矩阵的正交化.求正交阵P使为对角阵
正交矩阵是实数矩阵吗?正交矩阵是实对称矩阵吗?
实对称矩阵化为对角矩阵是不是非得是正交矩阵?不是正交矩阵可以吗?
实对称矩阵为什么对角化时要单位化正交化