（近世代数）证明：M是R的极大理想,当且仅当R/M是单环.

（近世代数）证明：M是R的极大理想,当且仅当R/M是单环.

阵列形式的零点定理 设R是一个QF环. 下述三个问题是非常重要的. 借鉴Hilbert Nullstellensatz定理的含义, 把它们总称为阵列形式的零点问题.
问题A(弱零点问题）：若I是R[X]的理想, 且I与R[X]不相等, 则是否存一个非全零阵列b, 使得 b是AnnM(I)中的元素 ? 问题B(零点问题）：下述恒等式是否成立 I=AnnR[X](AnnM(I)) (1)
Macaulay 在名著[9]中着力研究的逆系(Inverse Systems)问题与问题A, B是密切相关的. 在证明(2)式时, 他采用了dialytic arrays方法. 然而,我们认为Macaulay的方法只适合于理想 是零维时的情形. D. G. Northcott(1974)[11]给出了公式（1）的完全证明.
问题C(强零点问题）： 设R是QF环, 给定R[X]的一个多项式理想I, 是否存在一个由有限个LRA阵列生成的R[X]-子模M, 使得I=AnnR[X](M)
. 当R=F是域时, 问题C是多维线性系统理论中的一个重要研究课题. 这个问题实质上是问能否用有限个行为(behavior)数据确定整个系统. C. Heij(1992)得到了一些进展. 这个问题直到最近才由 S. Zampieri(1997)[13] 对F[X]=F[x,y]时给出了的肯定的解答. 我们发现Macaulay[9]有个论断: 对R[X]的任意理想I, Ann(I)一定是有限生成R[X]-模. 如果利用Macaulay的这个论断, 再利用Macaulay的公式（3）,则问题C似乎可以轻松地解决. 然而, 经过细致地分析, 我们发现Macaulay的这个论断是不对的, 他的证明只有当$I$是零维理想时才通得过. 那么, 要使Macaulay的论断成立, 是否一定要加上$I$是零维理想这个条件吗? 本文将解决这个问题.
定理A (弱零点定理)： 设R是QF环, I是 R[X] 的任意一个理想. 则AnnM(I)非零 当且仅当 I与R[X]不等.
定理B (零点定理): 设R是QF环, I是R[X]的任意一个理想. 则 I=Ann(Ann(I)) 定理C(强零点定理)： 设R是QF环, I是R[X]的任意一个理想. 则存在M的一个有限生成R[X]-子模M, 使得I=AnnR[X](M).
问题D： 设 M是任意一个由有限个R上的LRA生成的M的R[X]-子模, 是否存在R[X]的一个理想I, 使得M=AnnM(I)? 当R是一个域时, Macaulay([9],p71)用 dialytic方法证明了这个‘定理’. 然而,我们认为,这个证明也只能在 是有限生成R-模时才能通过. 实际上,我们将证明： 定理D: 设R是一个QF环, M是M的有限生成R[X]-子模, 则M是R[X]的某理想的零化阵列模, 当且仅当M是有限生成R-模. 定理E: 设R 是一个有限域,M= 是M的有限生成R[X]-子模, 其中a,…, b是阵列. 则存在R[X]的理想I使得M=Ann(I) 当且仅当每个LRS阵列a,b最终周期的(即：不计初始的有限项外是周期的）.三、零化阵列模的结构与Nechaev问题

问题E： 设I是 R[X]的一个理想, 给出I恰是某个LRA阵列的特征理想的判别准则, 即给出充要条件.
当n=1且R是一个唯一因子分解整环(简记为UFD)时, 问题就不简单.当n=1且R是一个有零因子的环时,问题更难以处理.当R为Potential整环时, 即要求R和R[[x]]都是UFD时, Fitzpatrick 和 Norton(1995)[7]证明R[x]中的理想I恰是一个LRS的特征理想的充分必要条件是I是由一个首一多项式生成的主理想.我们要在R是一般的UFD上给出R上LRS的特征理想的刻画. 问题F：设R是QF环, 给定R[X]的一个理想I. 问在什么条件下,AnnM(I)是一个循环R[X]-模. 我们得到下面简明的解析判别公式. 定理F：设F是一个域,F[X]的零维理想I是F上一个LRA阵列的特征理想,当且仅当
dimF (I:rad(I))/I =dimR F[X]/rad(I).
上述判别公式中的数值是容易用Grobner基理论中常规的算法计算, 所有这些计算须对I进行准素分解.
当R是Artin局部主理想环且$I$是准素理想时, Nechaev[10]给出了Ann(I)恰是一个R上的一个LRS生成的循环模的判别准则, 该判别需用到对I的准素分解.他在该文中提出了如下三个未解决的问题. Nechaev公开问题1: 设R是局部Artin主理想环, I 是R[x]的理想, 给出一个判别零化序列模Ann(I)是循环R[x]-模的准则, 且要求该判别只与理想I(或I的生成元)有关, 而不依赖于I的准素分解的. Nechaev公开问题2: 当R是任意QF环时, 对R[x]的任意一个理想I,建立规范生成系(简记CGS)(Canonical Generator System)的概念, 以便能够方便地判别理想I的代表元的归属问题, 即：对任意f(x) in R[x], 能否有算法方便地判别f(x) in I与否. Nechaev公开问题3:} 在Nechaev问题2相同的条件下, 给出构造性的方法求出R[x]-模Ann(I)的生成元系并进一步给出循环性的判别. 我们利用定理F的结果和方法,解决了Nechaev公开问题1.上述三个Nechaev问题中,真正有实在意义和难度的是Nechaev问题1.因为, 我们证明了 定理G： Nechaev的CGS恰是极小Grobner 基.
因此, 只要QF环R拥有如下两个附加条件：
a. R中的元素能够用计算机可接受的形式表示出,
b. 能用计算机实现“+", “x"运算和求解系数在R上线性方程.
则我们可以借助环上的Grobner基理论, 解决Nechaev问题2, 并用解决Nechaev问题1的同样方法解决Nechaev问题3.
四、理想的零化阵列模的基构造
当R是有限域, R[X]=R[x,y]是两个变元的多项式环时, 文献[8]通过刻划I的约化Grobner基的标准型, 给出了类似于(2)式中一维LRS的基的具有漂亮组合性质的二维LRA基.
我们采用与[8]中不同的方法, 对任意n和任意零维理想I, 求出Ann(I)的生成元组. 我们的工作是基于Grobner基理论和一些基本的同调代数知识. 实际上, 我们利用如下的对偶定理.
定理H: 设I是R[X]的任意理想, 则Ann(I)与Hom(R[X]/I,R) 是R[X]-模同构

五、Galois环上的阵列

八十年代以来, Nechaev[10], Kurakin, Kuzmin等对环上的LRS和LRA作了大量的研究. 有关的综述报告参见Mikhalev & Nechaev(1996) [15]. 进入九十年代, 由于Calderbank等[6]关于Galois环上的代数编码理论的突破性进展, 由于剩余类环Z/(m)环上的编码成功地应用于编码与调制相结合体制, 因而Galois环上的编码问题,在国际信息论学术界引起了极大的兴趣和研究热潮.
A. A. Nechaev 的论文[10]是研究交换环上LRS的一篇重要文献. 该文主要做了两项工作. 1). 在R上线性递归序列的有限生成子模格与单变元多项式环R[x]中的首一理想格之间建立了Galois对应. 2). 在更特殊的Artin主理想环上, 对R[x]中的理想I, 给出I的零化线性递归序列R-模Ann_R(I)是循环R[x]-模的判别准则. 应该注意的是, [10]中给出的循环模的判别准则是基于构造Ann(I)的R-模生成元组, 然后根据这些生成元之间的复杂关系, 给出Ann(I)是循环R[x]-模的判别准则, 而且他的判别准则涉及到对理想的准素分解. 求对多项式理想的准素分解的算法一直是一个困难的问题, 尽管可以用Grobner 理论给予解决, 但是这些算法依然是很复杂的.

六、 LRA的综合问题
如何有效地求解综合问题一直是信息论, 系统论, 控制论和密码学等许多学科中活跃的重要研究课题. 域上有限序列最小特征多项式的综合问题是由Berlekamp(1968)[17]和Massey(1969)解决的. 他们给出的著名的B-M算法已成为工业标准. B-M算法的计算复杂性是O(m2), 其中 是序列的长度. 而用常规的解线性方程组的方法的复杂性是O(m3). BM算法解决KeyEquation的求解.
在R=Z/(m)剩余类环, 且n=1时, Reed 和 Sloane(1985)[12]给出了BM算法的推广. KeyEquation缺乏代数的结构性. 作者(1993)[3]提出用齐次关键方程HKeyEquation代替KeyEquation的新方法, 这样不但有极好的代数结构性质, 具有更广的适用性. 我们已证明, 求KeyEquation的解与求HKeyEquation的解是等价的[3]. HKeyEquation容易推广到对LRA的综合, 且可以用于代数几何码的译码. 基于我们齐次化方法的同样思路, 周锦君等(1996)[14]将HKeyEquation推广用于求解剩余类环上的阵列的综合. 最近, J. Althaler & A. Dur (1996)[5]也开始使用齐次化方法研究序列的综合,但他们用逆幂级数表示序列,而相应的特征多项式是常规的多项式, 因此序列和特征多项式不在同一个环中,无法直接利用Grobner基理论和Syzygy的计算. 实际上,他们给出的综合算法必须要借助已有叠代算法. 通过齐次化方法, 我们(1993[3])已证明LRA的综合算法与Grobner基有很好的联系. 本文将进一步揭示综合算法的每一步与Grobner基有精密联系.

七、 主要结果

我们简要列举本文得到的主要新结果.
设R是局部Artin主理想环（或更广的Quasi-Frobeniou环), 是R的极大理想, F=R/m是域, R[X]多元多项式环, I,J 是R[X]的任意理想. M,N是R上的某些阵列构成的R[X]-模. 则：
1． (弱零点定理)：Ann(I)=0当且仅当I=R[X].
2. (零点定理)： Ann(Ann(I))=I.
3. (强零点定理)：存在有限个阵列生成的R[X]-模M, 使得 I=Ann(M).
4. Ann(I)是有限个阵列生成的R[X]-模, 当且仅当, I是零维理想, 当且仅当
Ann(I)是有限个阵列生成的R-模.
5. 有限个阵列生成的R[X]-模M是R[X]的某理想的零化阵列模当且仅当M 是有限生成R-
模.当R是域, I 是R[X]的零维理想. 则存在阵列a使得I=Ann(a) 当且仅当
dimF (I:rad(I))/I =dimR F[X]/rad(I).
6. 解决Nechaev 的3个Open问题
7. Ann(Ann(M))=M 当且仅当M是有限生成R-模. 这样既推广了Macaulay的逆系定理, 又指出Macaulay的原逆系定理的不确切之处, 并给出了逆系定理成立的充要条件.
8. 当R是主理想局部环时, 给出R[x]的理想I的Grobner基的标准型, 和计算I的Grobner基的快速算法, 并给出对I准素分解的基于Grobner基理论的算法.
9. 给出阵列的代数表示和计算Ann(I) 的 R-模基的新方法.
10. 揭示序列综合的Belerkamp-Massey 与Grobner 基之间的紧密联系
11. 当R是UFD, I是R[x]的理想. 则I是某个LRS序列的特征理想当且仅当I是由首一多项式生成的主理想. 从而推广了Fitzpatrick 的结果.