已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴上的两点，点A在点B的左侧，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 10:15:42

已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴上的两点，点A在点B的左侧，

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）如图情况下：a、c的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b=-4，AB=4

（1）由图可知：当抛物线开口向下，即a＜0时，c＜0；
当抛物线开口向上，即a＞0时，c＞0；
因此a、c同号．
（2）设A（m，0），B（n，0），
抛物线的解析式y=ax²+bx+c中，令y=0，
得：ax²+bx+c=0，
故OA•OB=mn=
c
a；
而OC²=c²，若OA•OB=OC²，
则：
c
a=c²，
解得ac=1；
所以a、c互为倒数．
（3）由题意知：y=ax²-4x+
1
a，
则：m+n=
4
a，mn=
1
a2；
若AB=4
3，即AB²=48，
所以：（n-m）²=48，
即（m+n）²-4mn=48，

16
a2−
4
a2=48，
解得a=±
1
2；
故c=
1
a=±2；
因此a、c的值分别为：
1
2、2或-
1
2、-2．