作业帮线性代数中有关秩的证明
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 19:03:52
线性代数中有关秩的证明
三阶矩阵A满足A*A=E且A不等于正负E
求证[r(A-E)-1]*[r(A+E)-1]=0
三阶矩阵A满足A*A=E且A不等于正负E
求证[r(A-E)-1]*[r(A+E)-1]=0
引理：设A为n阶矩阵,且A^2=E,则r(A+E)+r(A-E)=n.
证法一：
令U={x∈R^n|Ax=x}={x∈R^n|(A-E)x=0}为(A-E)的解集,则dim(U)=n-rank(A-E)；
令V={x∈R^n|Ax=-x}={x∈R^n|(A+E)x=0}为(A+E)的解集,则dim(V)=n-rank(A+E).
两式相加得dim(U)+dim(V)=2n-[rank(A-E)+rank(A+E)].
声明：R^n=U⊕V.
证明：(1)U∩V=0：x∈U∩V则Ax=x且Ax=-x,所以x=-x,得x=0；
(2)U+V=R^n：对任意x∈R^n,定义x1=(x+Ax)/2,x1=(x-Ax)/2,则x=x1+x2；且由A(Ax)=(A^2)x=x易知Ax1=x1,Ax2=-x2,所以x1∈U,x2∈V.
所以dim(U)+dim(V)=n.代入上式得rank(A-E)+rank(A+E)=n.
证法二：
由A^2=E,A有化零多项式f(x)=x^2-1.A的最小多项式p(x)必整除f(x),且f(x)无重根,所以p(x)无重根,所以A可对角化.A的特征值都是p(x)的根,所以都是f(x)的根,只能是1或-1.所以A相似于对角元全为1或-1的对角阵D.
A+E相似于D+E,所以rank(A+E)等于rank(D+E),等于D中1的个数；
A-E相似于D-E,所以rank(A-E)等于rank(A-E),等于D中-1的个数.
所以rank(A+E)+rank(A-E)等于D的阶,即n.
现在有r(A+E)+r(A-E)=3.且由A≠E知r(A-E)≠0；由A≠-E知r(A+E)≠0.所以r(A+E)和r(A-E)中恰好有一个等于1（另一个等于2）,从而[r(A-E)-1]*[r(A+E)-1]=0.
证法一：
令U={x∈R^n|Ax=x}={x∈R^n|(A-E)x=0}为(A-E)的解集,则dim(U)=n-rank(A-E)；
令V={x∈R^n|Ax=-x}={x∈R^n|(A+E)x=0}为(A+E)的解集,则dim(V)=n-rank(A+E).
两式相加得dim(U)+dim(V)=2n-[rank(A-E)+rank(A+E)].
声明：R^n=U⊕V.
证明：(1)U∩V=0：x∈U∩V则Ax=x且Ax=-x,所以x=-x,得x=0；
(2)U+V=R^n：对任意x∈R^n,定义x1=(x+Ax)/2,x1=(x-Ax)/2,则x=x1+x2；且由A(Ax)=(A^2)x=x易知Ax1=x1,Ax2=-x2,所以x1∈U,x2∈V.
所以dim(U)+dim(V)=n.代入上式得rank(A-E)+rank(A+E)=n.
证法二：
由A^2=E,A有化零多项式f(x)=x^2-1.A的最小多项式p(x)必整除f(x),且f(x)无重根,所以p(x)无重根,所以A可对角化.A的特征值都是p(x)的根,所以都是f(x)的根,只能是1或-1.所以A相似于对角元全为1或-1的对角阵D.
A+E相似于D+E,所以rank(A+E)等于rank(D+E),等于D中1的个数；
A-E相似于D-E,所以rank(A-E)等于rank(A-E),等于D中-1的个数.
所以rank(A+E)+rank(A-E)等于D的阶,即n.
现在有r(A+E)+r(A-E)=3.且由A≠E知r(A-E)≠0；由A≠-E知r(A+E)≠0.所以r(A+E)和r(A-E)中恰好有一个等于1（另一个等于2）,从而[r(A-E)-1]*[r(A+E)-1]=0.