作业帮一道排列组合的题目,求大神解答,万分感谢
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 14:48:10
一道排列组合的题目,求大神解答,万分感谢
排列组合题目的基础就是分步计算思想和分组计算思想,这两个思想要踏实的掌握.剩下的就是做题的时候能够准确地对题目进行分析和解读.分清什么是排列题目,什么是组合题目,别混了.剩下的就好做了.
比如说第一小题：
甲乙丙三人都不能排在两端,那显然他们三个就只能排在中间的四个位置,于是我们可以这样想：分两步
步骤一：先安排甲乙丙三人的位置
步骤二：安排剩下的三个人的位置
两个步骤之间按照什么组合?很显然是两组
比如我们从A到C,中间必须经过B,从A到B有三条线路,从B到C有两条线路,那么我们到C有几条线路可选?
我们分两步到C,步骤一：先到B,有三条线路
步骤二：再到C有两条路
所以总共可选的路线有6条.
图片中的题目和我说的例子其实本质上是一致的.
先安排甲乙丙三人,安排方法就是四个位置选择三个,且与位置相关,是排列题目,四选三,数目是4*3*2=24
再来安排剩下的三人,三选三的全排列,数目是3*2*1=6
所以答案就是6*24=144
再比如说题目二：女生不能排在两端,那么两端当然是男生,还要求两个女生相邻,那么我们就把这两个女生先看做一个人,行吧.就相当于一个女生和五个男生一起排列,并且女生不能排在两端.有多少中排列方法呢.
也有好几种思考方法,比如
思考一：先把五个男生排好,可以吧,这就是5的全排列,数目是：5*4*3*2=120
那现在我们在这五个男生中插进一个女同学的位置,由于五个男生已经排好,剩下有四个孔（两个男生相邻的缝隙就是一个孔）,那现在女生有几种选择呢?显然有四种,所以总的排列方法就是120*4=480
思考二：六个人一起排,先安排女生,除去两端,剩下四个位置给女生,所以是四选一,然后剩下的五个位置留给五个男生随便选,是5的全排列.答案也是480,
然后我们再把这个女生变为两个,因为她们也有位置之别,也就是2的全排列,所以最终的答案就是960
再来第三题：
甲乙两人中间至少有一人,于是可以有1,2,3这三个中的任意一个数目,我们可以这样正向分类讨论,但是这样讨论的数目会比较多,得分三类,所以遇到这种什么至少**的题目的时候,我们一般考察他的对立面.
也就是甲乙两人中间没有人,他两个是连着的时候,也可以先把他两个看做一个整体,和其余三个人一起排列,这就是4的全排列,数目是4*3*2=24,然后他两个也有位置之别,所以还得乘上2,所以数目是48,由于考虑的是反面,而整体的排列数目是5的全排列,120,所以最终答案就是120-48=72.这就是最终答案
至于正向思考,下面简单说一下：
情况一：中间刚好有一个人,但是是那个人呢,剩下的三个人都有可能.于是也可以像前面一样逐步进行简化思考：
首先排剩下的两个人,是2的全排列,数目是2,现在来插进剩下的甲乙和另外一个人,此时我们把他们三个看做一个整体,怎么插进去呢?显然有三种选择：两人的中间和两边,所以数目就变成了2*3,
插进去之后,再来细分他们内部,首先三人都可以进来,所以还得乘上3（注：这里乘上三就表示外面的两个人就已经确定了,当然我们也可以换一种方式思考,首先在三个人中间挑选两个来排好外面的两个位置,这就是3*2,两者答案是一样的,但是思考的顺序却不一样）,然后两人还有位置之别,所以还得乘上2,也就是最终的数目是：2*3*3*2=36
刚好有两个人.为保持和前面思路的一致,这里先来排列剩下的一人,很显然他只有一种排列可选,于是数目是1,将剩下的四人看作整体插入现有排列中,只有左右两种选择,所以乘上2,接下来在看四个人的内部,先排中间的两人,但是这两个人是从三个人当中挑选的,所以是3*2,然后再来排列甲乙,数目是2,所以最终数目是1*2*3*2*2=24
刚好有三个人,此时就是甲乙在两端,所以数目是2*3*2=12
所以答案就是：36+24+12=72,这和之前反面思考的结果一致.
其余的题目楼主你自己做一下吧,要点都差不多,就是要掌握好分类的分步这两种思路,然后分清楚和顺序是否相关,最后清晰地对题目进行分解,分解成几步来完成的事件即可
最后再给你最后几题中的一道题分析一下吧,希望对你有所帮助.
第九题：
班主任坐中间,剩下的八个人平均分在两边,但要求两边都有三好学生,那么有多少种情况呢?我们简单列举一下：左边一个三好生,右边两个；
左边两个三好生,右边一个.
计算方法：
正向计算法：
情况一：左边一个三好生,右边两个,
首先确定左边的三好生是谁?数目是三选一,是3,然后还有三个普通学生还要排在左边,先确定这三个学生是谁?数目是五选三,然后和这个三好学生一起进行全排列.于是数目是5*4*3*4*3=720,剩下的四个同学全排列,4*3*2=24,两者分步组合,所以结果是：720*24=17289
情况二：左边两个三好生,右边一个,
这和情况一其实是对称的.正如我们如下的思考一样：不分左右,只分一边两个,一边一个,然后再来确定那边一个那边两个一样,二选一.
所以答案就是17280*2=34560
逆向计算方法：三好学生只在某一边,在此我们不管是哪一边,比如是左边,三个三好生都在这里,四个位置当中随便选,数目是4*3*2=24,剩下的一个位置在剩下的五个学生中随便选一个,五选一,所以数目是24*5=120,剩下的另一边用剩下的四个学生全排列,4*3*2=24,所以数目是120*24=2880,但是三好学生可以在左右两边任选一边,所以还要乘上2,最终数目是5760
此时再来计算整体的数目,也就是没有排列规则,只要学生均匀站在班主任两边即可时候的数目.
先确定左边,八选四,8*7*6*5,再确定右边,四选四,4*3*2,所以最终数目是：
8*7*6*5*4*3*2=40320,所以最终结果就是40230-5760=34560
这里为什么整体的数目恰好是8的全排列呢?是因为数字巧合了么?显然不是.楼主你可以试着先排列学生,最后再把老师插进队伍中,就可以更加清晰了
比如说第一小题：
甲乙丙三人都不能排在两端,那显然他们三个就只能排在中间的四个位置,于是我们可以这样想：分两步
步骤一：先安排甲乙丙三人的位置
步骤二：安排剩下的三个人的位置
两个步骤之间按照什么组合?很显然是两组
比如我们从A到C,中间必须经过B,从A到B有三条线路,从B到C有两条线路,那么我们到C有几条线路可选?
我们分两步到C,步骤一：先到B,有三条线路
步骤二：再到C有两条路
所以总共可选的路线有6条.
图片中的题目和我说的例子其实本质上是一致的.
先安排甲乙丙三人,安排方法就是四个位置选择三个,且与位置相关,是排列题目,四选三,数目是4*3*2=24
再来安排剩下的三人,三选三的全排列,数目是3*2*1=6
所以答案就是6*24=144
再比如说题目二：女生不能排在两端,那么两端当然是男生,还要求两个女生相邻,那么我们就把这两个女生先看做一个人,行吧.就相当于一个女生和五个男生一起排列,并且女生不能排在两端.有多少中排列方法呢.
也有好几种思考方法,比如
思考一：先把五个男生排好,可以吧,这就是5的全排列,数目是：5*4*3*2=120
那现在我们在这五个男生中插进一个女同学的位置,由于五个男生已经排好,剩下有四个孔（两个男生相邻的缝隙就是一个孔）,那现在女生有几种选择呢?显然有四种,所以总的排列方法就是120*4=480
思考二：六个人一起排,先安排女生,除去两端,剩下四个位置给女生,所以是四选一,然后剩下的五个位置留给五个男生随便选,是5的全排列.答案也是480,
然后我们再把这个女生变为两个,因为她们也有位置之别,也就是2的全排列,所以最终的答案就是960
再来第三题：
甲乙两人中间至少有一人,于是可以有1,2,3这三个中的任意一个数目,我们可以这样正向分类讨论,但是这样讨论的数目会比较多,得分三类,所以遇到这种什么至少**的题目的时候,我们一般考察他的对立面.
也就是甲乙两人中间没有人,他两个是连着的时候,也可以先把他两个看做一个整体,和其余三个人一起排列,这就是4的全排列,数目是4*3*2=24,然后他两个也有位置之别,所以还得乘上2,所以数目是48,由于考虑的是反面,而整体的排列数目是5的全排列,120,所以最终答案就是120-48=72.这就是最终答案
至于正向思考,下面简单说一下：
情况一：中间刚好有一个人,但是是那个人呢,剩下的三个人都有可能.于是也可以像前面一样逐步进行简化思考：
首先排剩下的两个人,是2的全排列,数目是2,现在来插进剩下的甲乙和另外一个人,此时我们把他们三个看做一个整体,怎么插进去呢?显然有三种选择：两人的中间和两边,所以数目就变成了2*3,
插进去之后,再来细分他们内部,首先三人都可以进来,所以还得乘上3（注：这里乘上三就表示外面的两个人就已经确定了,当然我们也可以换一种方式思考,首先在三个人中间挑选两个来排好外面的两个位置,这就是3*2,两者答案是一样的,但是思考的顺序却不一样）,然后两人还有位置之别,所以还得乘上2,也就是最终的数目是：2*3*3*2=36
刚好有两个人.为保持和前面思路的一致,这里先来排列剩下的一人,很显然他只有一种排列可选,于是数目是1,将剩下的四人看作整体插入现有排列中,只有左右两种选择,所以乘上2,接下来在看四个人的内部,先排中间的两人,但是这两个人是从三个人当中挑选的,所以是3*2,然后再来排列甲乙,数目是2,所以最终数目是1*2*3*2*2=24
刚好有三个人,此时就是甲乙在两端,所以数目是2*3*2=12
所以答案就是：36+24+12=72,这和之前反面思考的结果一致.
其余的题目楼主你自己做一下吧,要点都差不多,就是要掌握好分类的分步这两种思路,然后分清楚和顺序是否相关,最后清晰地对题目进行分解,分解成几步来完成的事件即可
最后再给你最后几题中的一道题分析一下吧,希望对你有所帮助.
第九题：
班主任坐中间,剩下的八个人平均分在两边,但要求两边都有三好学生,那么有多少种情况呢?我们简单列举一下：左边一个三好生,右边两个；
左边两个三好生,右边一个.
计算方法：
正向计算法：
情况一：左边一个三好生,右边两个,
首先确定左边的三好生是谁?数目是三选一,是3,然后还有三个普通学生还要排在左边,先确定这三个学生是谁?数目是五选三,然后和这个三好学生一起进行全排列.于是数目是5*4*3*4*3=720,剩下的四个同学全排列,4*3*2=24,两者分步组合,所以结果是：720*24=17289
情况二：左边两个三好生,右边一个,
这和情况一其实是对称的.正如我们如下的思考一样：不分左右,只分一边两个,一边一个,然后再来确定那边一个那边两个一样,二选一.
所以答案就是17280*2=34560
逆向计算方法：三好学生只在某一边,在此我们不管是哪一边,比如是左边,三个三好生都在这里,四个位置当中随便选,数目是4*3*2=24,剩下的一个位置在剩下的五个学生中随便选一个,五选一,所以数目是24*5=120,剩下的另一边用剩下的四个学生全排列,4*3*2=24,所以数目是120*24=2880,但是三好学生可以在左右两边任选一边,所以还要乘上2,最终数目是5760
此时再来计算整体的数目,也就是没有排列规则,只要学生均匀站在班主任两边即可时候的数目.
先确定左边,八选四,8*7*6*5,再确定右边,四选四,4*3*2,所以最终数目是：
8*7*6*5*4*3*2=40320,所以最终结果就是40230-5760=34560
这里为什么整体的数目恰好是8的全排列呢?是因为数字巧合了么?显然不是.楼主你可以试着先排列学生,最后再把老师插进队伍中,就可以更加清晰了