求证：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 19:53:36

求证：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组
以下三种变换叫作线性方程组的初等变换
1.交换两个方程的位置
2.用一个不等于零的数乘某一方程
3.用一个数乘某一个方程后加到另一个方程
（高等代数里面说的）
它就说由初等代数就知道这个定理成立,能不能给我个具体的证明过程?

只要说明上述每个初等变换都是可逆变换就可以了
分情况讨论:方程组(I) 经过一次初等变换化成方程组(II)后,两个方程组同解
1.交换两个方程的位置后得(II),
那么方程组(II)再交换这两个方程就得到方程组(I)
2.用一个不等于零的数k乘某一方程得方程组(II),
那么(II)中这个方程乘以(1/k),就得到了方程组(I).
3.用一个数k乘某一个方程后加到另一个方程得方程组(II)
那么在(II)中用这个方程乘以 -k 加到另一个方程仍得到方程组(I)
所以,线性方程组的初等变换都是可逆变换,故得到的方程组是同解方程组.

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