1.已经a>b>c,用分析法证明1/a-b + 1/b-c + 1/c-a >0
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/17 10:55:06
1.已经a>b>c,用分析法证明1/a-b + 1/b-c + 1/c-a >0
2.已经a>0,b>0 ,求证:1/a +1/b +1/c ≥2(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a)
3.正方形ABCD在直角坐标系内,已知其中一条边AB在直线y=x+4上,CD在抛物y^2=x上,求正方形ABCD的面积 (这个题目的正确答案是(98-16√33)或(98+16√33) 还是18或50呀?)
2.已经a>0,b>0 ,求证:1/a +1/b +1/c ≥2(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a)
3.正方形ABCD在直角坐标系内,已知其中一条边AB在直线y=x+4上,CD在抛物y^2=x上,求正方形ABCD的面积 (这个题目的正确答案是(98-16√33)或(98+16√33) 还是18或50呀?)
1.a>b>c,证明 1/(a-b) + 1/(b-c) + 1/(c-a) >0
因,a>b>c,
所以,a-b>0, b-c>0, a-c>0.
而,
(a-c)/(a-b) + (a-c)/(b-c) = [a-b+b-c]/(a-b) + [a-b+b-c]/(b-c)
= 1 + (b-c)/(a-b) + (a-b)/(b-c) + 1 > 1
因此,
1/(a-b) + 1/(b-c) > 1/(a-c),
1/(a-b) + 1/(b-c) + 1/(c-a) > 0
2.已经a>0,b>0 ,c>0. 求证:
1/a +1/b +1/c ≥ 2[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)]
对于任何正数u,都有
u + 1/u - 2 = [u^(1/2) - 1/u^(1/2)]^2 >= 0,
因此
u + 1/u >= 2.
所以,
(a+b)/a + (a+b)/b = 1 + b/a + a/b + 1 > 2 + (b/a) + 1/(b/a) > 4,
1/a + 1/b > 4/(a+b), ...(1)
同理,有,
1/b + 1/c > 4/(b+c), ...(2)
1/c + 1/a > 4/(c+a), ...(3)
(1)~(3)不等号2边分别相加,有
2[1/a + 1/b + 1/c] > 4[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)],
1/a + 1/b + 1/c > 2[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)]
3.正方形ABCD在直角坐标系内,已知其中一条边AB在直线y=x+4上,CD在抛物y^2=x上,求正方形ABCD的面积 (这个题目的正确答案是(98-16√33)或(98+16√33) 还是18或50呀?)
设点C,D的坐标分别为[u,u^2]和[v,v^2].u不等于v.
则因为向量CD // 直线y=x+4.
因此,有 u-v = u^2 - v^2,
u-v = (u-v)(u+v),
1 = u+v. ...(1)
点C,D之间的距离的平方为,
[u-v]^2 + [u^2 - v^2]^2 = [u-v]^2 + [(u-v)(u+v)]^2 = 2(u-v)^2
点C到直线y=x+4的距离的平方为,
(u^2 - u - 4)^2/2
点C,D之间的距离的平方应该和点C到直线y=x+4的距离的平方相等.
故,
2(u-v)^2 = (u^2 - u - 4)^2/2,
(u^2 - u - 4)^2 - 4(u-v)^2 = [u^2 - u - 4 + 2(u-v)][u^2 - u - 4 -2(u-v)] = [u^2 + u - 2v - 4][u^2 - 3u + 2v - 4] = 0
...(2)
将(1)带入(2),有
[u^2 + u -2(1-u) - 4][u^2 -3u +2(1-u)-4] = [u^2 +3u-6][u^2 -5u -2] = 0
u^2 +3u-6 = 0, 或者,u^2 - 5u - 2 =0,
u = [-3 + (9+24)^(1/2)]/2 = [-3 + (33)^(1/2)]/2,
或者,u = [-3 - (33)^(1/2)]/2,
或者,u = [5 + (25+8)^(1/2)]/2 = [5 + (33)^(1/2)]/2,
或者,u = [5 - (33)^(1/2)]/2
由(1),有
u - v = u - (1-u) = 2u - 1 = -4 + (33)^(1/2)
或者,u - v = -4 - (33)^(1/2),
或者,u - v = 4 + (33)^(1/2),
或者,u - v = 4 - (33)^(1/2).
点C,D之间的距离的平方为,
2(u-v)^2 = 2[-4 + (33)^(1/2)]^2
或者,2(u - v)^2 = 2[-4 - (33)^(1/2)]^2 = 2[4 + (33)^(1/2)]^2
或者,2(u - v)^2 = 2[4 + (33)^(1/2)]^2
或者,2(u - v)^2 = 2[4 - (33)^(1/2)]^2 = 2[-4 + (33)^(1/2)]^2.
而正方形ABCD的面积 = 点C,D之间的距离的平方,
因此,
正方形ABCD的面积为,
2[-4 + (33)^(1/2)]^2 = 2[49 - 8(33)^(1/2)] = 98 - 16(33)^(1/2)
或者,2[4 + (33)^(1/2)]^2 = 2[49 + 8(33)^(1/2)] = 98 + 16(33)^(1/2).
[这个题目的正确答案是(98-16√33)或(98+16√33)]
因,a>b>c,
所以,a-b>0, b-c>0, a-c>0.
而,
(a-c)/(a-b) + (a-c)/(b-c) = [a-b+b-c]/(a-b) + [a-b+b-c]/(b-c)
= 1 + (b-c)/(a-b) + (a-b)/(b-c) + 1 > 1
因此,
1/(a-b) + 1/(b-c) > 1/(a-c),
1/(a-b) + 1/(b-c) + 1/(c-a) > 0
2.已经a>0,b>0 ,c>0. 求证:
1/a +1/b +1/c ≥ 2[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)]
对于任何正数u,都有
u + 1/u - 2 = [u^(1/2) - 1/u^(1/2)]^2 >= 0,
因此
u + 1/u >= 2.
所以,
(a+b)/a + (a+b)/b = 1 + b/a + a/b + 1 > 2 + (b/a) + 1/(b/a) > 4,
1/a + 1/b > 4/(a+b), ...(1)
同理,有,
1/b + 1/c > 4/(b+c), ...(2)
1/c + 1/a > 4/(c+a), ...(3)
(1)~(3)不等号2边分别相加,有
2[1/a + 1/b + 1/c] > 4[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)],
1/a + 1/b + 1/c > 2[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)]
3.正方形ABCD在直角坐标系内,已知其中一条边AB在直线y=x+4上,CD在抛物y^2=x上,求正方形ABCD的面积 (这个题目的正确答案是(98-16√33)或(98+16√33) 还是18或50呀?)
设点C,D的坐标分别为[u,u^2]和[v,v^2].u不等于v.
则因为向量CD // 直线y=x+4.
因此,有 u-v = u^2 - v^2,
u-v = (u-v)(u+v),
1 = u+v. ...(1)
点C,D之间的距离的平方为,
[u-v]^2 + [u^2 - v^2]^2 = [u-v]^2 + [(u-v)(u+v)]^2 = 2(u-v)^2
点C到直线y=x+4的距离的平方为,
(u^2 - u - 4)^2/2
点C,D之间的距离的平方应该和点C到直线y=x+4的距离的平方相等.
故,
2(u-v)^2 = (u^2 - u - 4)^2/2,
(u^2 - u - 4)^2 - 4(u-v)^2 = [u^2 - u - 4 + 2(u-v)][u^2 - u - 4 -2(u-v)] = [u^2 + u - 2v - 4][u^2 - 3u + 2v - 4] = 0
...(2)
将(1)带入(2),有
[u^2 + u -2(1-u) - 4][u^2 -3u +2(1-u)-4] = [u^2 +3u-6][u^2 -5u -2] = 0
u^2 +3u-6 = 0, 或者,u^2 - 5u - 2 =0,
u = [-3 + (9+24)^(1/2)]/2 = [-3 + (33)^(1/2)]/2,
或者,u = [-3 - (33)^(1/2)]/2,
或者,u = [5 + (25+8)^(1/2)]/2 = [5 + (33)^(1/2)]/2,
或者,u = [5 - (33)^(1/2)]/2
由(1),有
u - v = u - (1-u) = 2u - 1 = -4 + (33)^(1/2)
或者,u - v = -4 - (33)^(1/2),
或者,u - v = 4 + (33)^(1/2),
或者,u - v = 4 - (33)^(1/2).
点C,D之间的距离的平方为,
2(u-v)^2 = 2[-4 + (33)^(1/2)]^2
或者,2(u - v)^2 = 2[-4 - (33)^(1/2)]^2 = 2[4 + (33)^(1/2)]^2
或者,2(u - v)^2 = 2[4 + (33)^(1/2)]^2
或者,2(u - v)^2 = 2[4 - (33)^(1/2)]^2 = 2[-4 + (33)^(1/2)]^2.
而正方形ABCD的面积 = 点C,D之间的距离的平方,
因此,
正方形ABCD的面积为,
2[-4 + (33)^(1/2)]^2 = 2[49 - 8(33)^(1/2)] = 98 - 16(33)^(1/2)
或者,2[4 + (33)^(1/2)]^2 = 2[49 + 8(33)^(1/2)] = 98 + 16(33)^(1/2).
[这个题目的正确答案是(98-16√33)或(98+16√33)]
1.已经a>b>c,用分析法证明1/a-b + 1/b-c + 1/c-a >0
已知a>b>c,用分析法或综合法证明:1/(a+b)+1/(b-c)>=4/(a-c)
用分析法证明:若a>b>c,且a+b+c=0,则[√(b^2-ac)]/a<√3
已知a大于b大于c,用分析法或综合法证明:1/a-b+1/b-c大于或等于4/a-c
已知a>0,b>0,c>0,用综合法证明(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c≥6
实数a,b,c满足(a+c)(a+b+c)<0,证明:(b-c)^2>4a(a+b+c)
设a,b,c>0,证明:a^2/b+b^2/c+c^2/a>=a+b+c(必须用作差法,分析法证明)
设a,b,c>0,证明:a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c 怎样用综合法或者分析法或者反证法进行证明?
证明 +(a-b)(b-c)(c-a)/(a+b)(b+c)(c+a)=0
1.若a>b>c,求证1/a-b+1/b-c≥4/a-c
设实数a,b,c满足a≤b≤c,且a^2+b^2+c ^2=9.证明abc+1>3a
a>0,d>0,c>0,用综合法证明:(b+c/a)+(c+a/b)+(a+b/c)≧6怎么做