作业帮考研数学-线性代数关于秩的相关内容；
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 04:38:02
考研数学-线性代数关于秩的相关内容；
对于一个四阶方阵,如果我知道其秩是3,那么我觉得其中某两行的元素应该对应成比例吧?比如一个四阶矩阵
1 -a 1 -1
0 1 2 0
0 a+2 2 a
0 3a+3 4 2
为什么我不可以直接令后两行的元素对应成比例来求参数a?答案是先将后两行又化简了一下才对应成比例的,为什么?为什么不能像我这样三个元素对应成比例?如果以后遇到类似的题目,化简到什么程度才可以用对应成比例来求参数?谢谢；
对于一个四阶方阵,如果我知道其秩是3,那么我觉得其中某两行的元素应该对应成比例吧?比如一个四阶矩阵
1 -a 1 -1
0 1 2 0
0 a+2 2 a
0 3a+3 4 2
为什么我不可以直接令后两行的元素对应成比例来求参数a?答案是先将后两行又化简了一下才对应成比例的,为什么?为什么不能像我这样三个元素对应成比例?如果以后遇到类似的题目,化简到什么程度才可以用对应成比例来求参数?谢谢；
因为“那么我觉得其中某两行的元素应该对应成比例吧”这个结论本身就不对.
比如看这么一个3 * 3矩阵：
0 1 1
2 2 3
2 3 4
这个矩阵秩只有2,因为前两行相加等于第三行.
所以,不满秩不代表某两行成比例,只能说明某行能被其他行线性表出.
但是,某些情况下,一些特殊矩阵确实可以用成比例这种想法来算.
比如你的这个矩阵,第一行第一列是非零,后三行第一列是非零,所以第一行肯定和后三行线性无关.
后三行里边,第二行最后一列为零,第四行最后一列非零,显然这两行线性无关.
所以第三行必然可以被第二行或者第四行线性表出.因此你要算两次成比例.
比如看这么一个3 * 3矩阵：
0 1 1
2 2 3
2 3 4
这个矩阵秩只有2,因为前两行相加等于第三行.
所以,不满秩不代表某两行成比例,只能说明某行能被其他行线性表出.
但是,某些情况下,一些特殊矩阵确实可以用成比例这种想法来算.
比如你的这个矩阵,第一行第一列是非零,后三行第一列是非零,所以第一行肯定和后三行线性无关.
后三行里边,第二行最后一列为零,第四行最后一列非零,显然这两行线性无关.
所以第三行必然可以被第二行或者第四行线性表出.因此你要算两次成比例.