作业帮关于用极限定义证明数列极限
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 23:52:27
关于用极限定义证明数列极限
证明：（1）对于任意的ε>0,解不等式
│0.99..9-1│=│(1-1/10^n)-1│=│-1/10^n│=1/10^nlg(1/ε),取N≥[lg(1/ε)].
于是,对于任意的ε>0,总存在自然数NN≥[lg(1/ε)].当n>N时,有│0.99..9-1│∞)(0.99.9n个9)=1；
（2）对于任意的ε>0,解不等式
│arctann-π/2│=│arctan(-1/n)│=│-arctan(1/n)│=arctan(1/n)cotε,取N≥[cotε].
于是,对于任意的ε>0,总存在自然数N≥[cotε].当n>N时,有│arctann-π/2│∞)(arctann)=π/2.
再问： 能解释一下这一步是如何得到的吗？│arctann-π/2│=│arctan(-1/n)│
再答： 令θ=arctann-π/2 ==>tanθ=tan(arctann-π/2)=-tan(π/2-arctann)=-cot(arctann)=-1/tan(arctann)=-1/n ==>θ=arctan(-1/n) ==>arctann-π/2=arctan(-1/n) ==>│arctann-π/2│=│arctan(-1/n)│
│0.99..9-1│=│(1-1/10^n)-1│=│-1/10^n│=1/10^nlg(1/ε),取N≥[lg(1/ε)].
于是,对于任意的ε>0,总存在自然数NN≥[lg(1/ε)].当n>N时,有│0.99..9-1│∞)(0.99.9n个9)=1；
（2）对于任意的ε>0,解不等式
│arctann-π/2│=│arctan(-1/n)│=│-arctan(1/n)│=arctan(1/n)cotε,取N≥[cotε].
于是,对于任意的ε>0,总存在自然数N≥[cotε].当n>N时,有│arctann-π/2│∞)(arctann)=π/2.
再问： 能解释一下这一步是如何得到的吗？│arctann-π/2│=│arctan(-1/n)│
再答： 令θ=arctann-π/2 ==>tanθ=tan(arctann-π/2)=-tan(π/2-arctann)=-cot(arctann)=-1/tan(arctann)=-1/n ==>θ=arctan(-1/n) ==>arctann-π/2=arctan(-1/n) ==>│arctann-π/2│=│arctan(-1/n)│