已知定义在R上的函数f(x)=a−12x+1是奇函数,其中a为实数.
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/30 10:27:51
已知定义在R上的函数f(x)=a−
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(1)∵定义在R上的函数f(x)=a−
1 2x+1是奇函数, ∴f(0)=a- 1 2=0,∴a= 1 2 . (2)由(1)可得,f(x)= 1 2- 1 2x+1,它在定义域R上是增函数. 证明:设x1<x2, ∵f(x1)-f(x2)= 1 2x2+1- 1 2x1+1= 2x1−2x2 (2x1+1)(2 x2+1), 由题设可得0<2x1<2x2,2x1-2x2<0, ∴ 2x1−2x2 (2x1+1)(2 x2+1)<0,故函数f(x)在R上是增函数. (3)由于函数f(x)在R上是增函数, 故函数表示的曲线上任意两点连线的斜率大于零, 故当m≠n时, f(m)−f(n) m−n>0, 换元可得 f(m)−f(−n) m−(−n)>0=f(0), 即 f(m)+f(n) m+n>f(0). ∴要证的不等式成立.
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