作业帮两个抽象代数题,求教.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 20:26:52
两个抽象代数题,求教.
1. 如果|S|+|T|>|G|,那么对于任何g∈G,|gT^{-1}|=|T|>|G|-|S|,所以S∩gT^{-1}非空,存在s∈S和t∈T使得s=gt^{-1},即g=st∈ST,这样G=ST,矛盾.
2.先证明一个引理：如果X和Y是环R的两个真子环,那么X∪Y≠R.
证明很容易,只要考虑X和Y互不包含的情形,取x∈X\Y和y∈Y\X,那么x+y∈R\(X∪Y).
接下来,对于任何给定的a∈R1,{b∈R1:f(ab)=f(a)f(b)}和{b∈R1:f(ab)=f(b)f(a)}都是R1的子环,且覆盖了R1,由引理知其中至少有一个不是真子环.也就是说,对于给定的a而言,对于所有的b都可以选定同一个的分配次序来分配f(ab).
然后把R1分成两类
X={a∈R1:对于任何b∈R1都有f(ab)=f(a)f(b)}
Y={a∈R1:对于任何b∈R1都有f(ab)=f(b)f(a)}
它们也都是R1的子环且覆盖了R1,所以其中至少有一个就是R1.
又已知Y≠R1,所以X=R1,即f是同态.
再问： 两个问题：第一题，T^{-1}是什么； 第二题：怎么证，{b∈R1:f(ab)=f(a)f(b)}和{b∈R1:f(ab)=f(b)f(a)}都是R1的子环 而且题干给出的各种条件你全没用到。。
再答： 1.T^{-1} = {t^{-1}: t∈T} 2.我确实疏忽了，不过很容易修正 先把引理改一下：如果X和Y是群R的两个真子群，那么X∪Y≠R。 后面的分类都是继承了环的加法的Abel子群，仍然可以用引理来处理。 题目中的所有条件都需要用，因为需要验证子群。
2.先证明一个引理：如果X和Y是环R的两个真子环,那么X∪Y≠R.
证明很容易,只要考虑X和Y互不包含的情形,取x∈X\Y和y∈Y\X,那么x+y∈R\(X∪Y).
接下来,对于任何给定的a∈R1,{b∈R1:f(ab)=f(a)f(b)}和{b∈R1:f(ab)=f(b)f(a)}都是R1的子环,且覆盖了R1,由引理知其中至少有一个不是真子环.也就是说,对于给定的a而言,对于所有的b都可以选定同一个的分配次序来分配f(ab).
然后把R1分成两类
X={a∈R1:对于任何b∈R1都有f(ab)=f(a)f(b)}
Y={a∈R1:对于任何b∈R1都有f(ab)=f(b)f(a)}
它们也都是R1的子环且覆盖了R1,所以其中至少有一个就是R1.
又已知Y≠R1,所以X=R1,即f是同态.
再问： 两个问题：第一题，T^{-1}是什么； 第二题：怎么证，{b∈R1:f(ab)=f(a)f(b)}和{b∈R1:f(ab)=f(b)f(a)}都是R1的子环 而且题干给出的各种条件你全没用到。。
再答： 1.T^{-1} = {t^{-1}: t∈T} 2.我确实疏忽了，不过很容易修正 先把引理改一下：如果X和Y是群R的两个真子群，那么X∪Y≠R。 后面的分类都是继承了环的加法的Abel子群，仍然可以用引理来处理。 题目中的所有条件都需要用，因为需要验证子群。