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设函数f(x)=x(e的x次幂—1)—ax²若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 23:02:03
设函数f(x)=x(e的x次幂—1)—ax²若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围
f(x)=x(e^x-1)-ax² ==> f(0) = 0
如果f(x) 在(0,+∞) 上是增函数即f‘(x)>0,那么对于任意 x>0,有:
f(x) > f(0) ==>f(x) > 0
从而在闭区间 [0,+∞) 上使 f(x) ≥ 0
f'(x) = (x+1)e^x -1 - 2ax ==> f'(0) = 0
同理,若在(0,+∞) f''(x) > 0,则可保证在[0,+∞)上f‘(x) ≥ 0
f''(x) = xe^x +2e^x- 2a
令 f''(x) > 0 在(0,+∞)上恒成立,则 2a ≤2e^0< xe^x +2e^x ==> a ≤ 1
当a≤ 1 时,f(x) 在(0,+∞) 上是增函数,从而 x ≥ 0 时
f(x) = x(e^x-1) - ax² ≥ 0
结论:a 的取值范围是 a≤ 1