设{an}{bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明{cn}不是等比数列.
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/01 07:39:52
设{an}{bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明{cn}不是等比数列.
反证法证明
假设{Cn}是等比数列,设公比为m,又设{an}、{bn}的公比分别为q1和q2,(q1≠q2)
Cn=an+bn=a(n-1)q1+b(n-1)q2
C(n-1)=a(n-1)+b(n-1)
则 Cn=mC(n-1)
即 a(n-1)q1+b(n-1)q2=m[a(n-1)+b(n-1)]
a(n-1)(q1-m)+b(n-1)(q2-m)=0
因为an*bn≠0,当q1=m时,必有m=q2,与已知矛盾,所以m≠q1,同样m≠q2.
所以
a(n-1)/b(n-1)=(m-q2)/(q1-m) (1)
a(n-1)/b(n-1)=a(n-2)q1/b(n-2)q2 (2)
又 an=a(n-2)q1^2 bn=b(n-2)q2^2 a(n-1)=a(n-2)q1 b(n-1)=b(n-2)q2
Cn=C(n-2)m^2
即 a(n-2)/b(n-2)=(m^2-q2^2)/(q1^2-m^2) (3)
由(1)、(2)、(3)得到
q1(m^2-q2^2)(q1-m)=q2(q1^2-m^2)(m-q2)
(q1-m)(m-q2)(q1-q2)m=0
所以m=q1 或 m=q2 或 q1=q2 或m=0
当m=q1 或 m=q2 或 q1=q2 时,均与已知矛盾,又公比不能为0,
因此假设错误,原命题得证
假设{Cn}是等比数列,设公比为m,又设{an}、{bn}的公比分别为q1和q2,(q1≠q2)
Cn=an+bn=a(n-1)q1+b(n-1)q2
C(n-1)=a(n-1)+b(n-1)
则 Cn=mC(n-1)
即 a(n-1)q1+b(n-1)q2=m[a(n-1)+b(n-1)]
a(n-1)(q1-m)+b(n-1)(q2-m)=0
因为an*bn≠0,当q1=m时,必有m=q2,与已知矛盾,所以m≠q1,同样m≠q2.
所以
a(n-1)/b(n-1)=(m-q2)/(q1-m) (1)
a(n-1)/b(n-1)=a(n-2)q1/b(n-2)q2 (2)
又 an=a(n-2)q1^2 bn=b(n-2)q2^2 a(n-1)=a(n-2)q1 b(n-1)=b(n-2)q2
Cn=C(n-2)m^2
即 a(n-2)/b(n-2)=(m^2-q2^2)/(q1^2-m^2) (3)
由(1)、(2)、(3)得到
q1(m^2-q2^2)(q1-m)=q2(q1^2-m^2)(m-q2)
(q1-m)(m-q2)(q1-q2)m=0
所以m=q1 或 m=q2 或 q1=q2 或m=0
当m=q1 或 m=q2 或 q1=q2 时,均与已知矛盾,又公比不能为0,
因此假设错误,原命题得证
数学证明题: 设{an}{bn}是公比不等的两等比数列,Cn=an+bn,求证{cn}不是等比数列
设{an}是等比数列,{bn}是等差数列,且b1=0,数列{cn}的前三项依次是1,1,2,且cn=an+bn
设数列{an}的前n项和为Sn=2an-4,bn=log2an,cn=1/bn^2,求证:数列{an}是等比数列?
已知数列{an}{bn}是各项为正数的等比数列,设cn=bn/an(nEN*).设数列{Inan}、{Inbn}的前n项
数列{an}是首项为0的等差数列,数列{bn}是首项为1的等比数列,设cn=an+bn,数列{cn}的前三项依次为1,1
己知数列{an}是首项a1=1/2,公比q=1/2的等比数列,设bn+2=3log1/2an,数列{Cn}满足Cn=an
设an为等比数列,bn为等差数列,b1=0,设cn=an+bn,且cn是1,1,2……,则cn前十项和为?
已知数列{an}是公差为正数的等差数列,数列{bn}是首相为1的等比数列,设cn=an×bn,
已知等比数列{an},a1=2,公比为2,又等差数列{bn}中,b2=a1,b8=a3,若Cn=2/bn*bn-1,求数
数列证明题an>0,bn=(an+2)/an,cn=an(an+1)^2.cn为等比数列,bn+1大于等于bn,求证:a
已知数列{an}是首项为a1=1/4,公比q=1/4的等比数列,设bn+2=3log1/4an(n属于N*),数列{Cn
数列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2设bn=an+1-2an,求证{bn}是等比数列,设cn=an/3n-1,