设三角形OPQ的面积为S,已知OP向量·PQ向量=1.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/05 00:49:03

设三角形OPQ的面积为S,已知OP向量·PQ向量=1.
（1）若S∈（1/2,√3/2）,求向量OP与PQ的夹角θ的取值范围；
（2）若S=3/4丨OP向量丨,求丨OQ向量丨的最小值.

（1）易得θ=180°-∠P
OP向量·PQ向量=丨OP向量丨*丨PQ向量丨*cosθ=1
s=1/2*丨OP向量丨*丨PQ向量丨*sinP=1/2*丨OP向量丨*丨PQ向量丨*sinθ
tanθ=2s∈（1,√3）,则θ∈（45°,60°）
（2）s=1/2*丨OP向量丨*丨PQ向量丨*sinθ=3/4丨OP向量丨
则丨PQ向量丨=3/(2sinθ)
tanθ=2s=3/2丨OP向量丨
由余弦定理丨OQ向量丨^2=丨OP向量丨^2+丨PQ向量丨^2-2*丨OP向量丨*丨PQ向量丨*cosP
=丨OP向量丨^2+丨PQ向量丨^2+2*丨OP向量丨*丨PQ向量丨*cosθ
=9/(4tanθ^2)+9/(4sinθ^2)+2
=9/4(sinθ/cosθ)^2+9/4(cosθ/sinθ)^2+9/4+2
>=9/4*2*(sinθ/cosθ)*(cosθ/sinθ)+9/4+2=25/4
当且仅当sinθ/cosθ=cosθ/sinθ即θ=45°时取等号
(即a^2+b^2>=2ab当且仅当a=b时取等号)
所以丨OQ向量丨最小值为5/2
再问： =9/(4tanθ^2)+9/(4sinθ^2)+2=9/4(sinθ/cosθ)^2+9/4(cosθ/sinθ)^2+9/4+2 怎么来的？还有为什么我算出来丨OP向量丨²的值是(4tanθ^2）/9 我比较笨，麻烦了~
再答： =9/(4tanθ^2)+9/(4sinθ^2)+2=9/4(sinθ/cosθ)^2+9/4(cosθ/sinθ)^2+9/4+2 是把9/(4sinθ^2)拆成9/4(cosθ/sinθ)^2+9/4(sinθ/sinθ)^2 丨OP向量丨²的值是(4tanθ^2）/9，之前是我写错了，不好意思然后后面的还是用一样的方法 4/9(sinθ/cosθ)^2+9/4(cosθ/sinθ)^2+9/4+2 >=2*(2sinθ/3cosθ)*(3cosθ/2sinθ)+9/4+2=2+2+9/4=25/4 当且仅当2sinθ/3cosθ=3cosθ/2sinθ时取等号

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