已知曲线C：y=eax．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 03:33:35

已知曲线C：y=e^ax．
（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；
（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．

（Ⅰ）y'=ae^ax，
因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，
所以1=2×0+m且y'|_x=0=2．
解得m=1，a=2
（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于
∀x，a∈R，都有e^ax＞ax+b，
即∀x，a∈R，e^ax-ax-b＞0恒成立，
令g（x）=e^ax-ax-b，
①若a=0，则g（x）=1-b，
所以实数b的取值范围是b＜1；
②若a≠0，g'（x）=a（e^ax-1），
由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：
x （-∞，0） 0 （0，+∞）
g'（x） - 0 +
g（x） ↘ 极小值 ↗所以g（x）的最小值为g（0）=1-b，
所以实数b的取值范围是b＜1；
综上，实数b的取值范围是b＜1．
法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于
∀x，a∈R，都有e^ax＞ax+b，即
∀x，a∈R，b＜e^ax-ax恒成立，
令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e^t-t恒成立，
令g（t）=e^t-t，则 g'（t）=e^t-1，
由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：
t （-∞，0） 0 （0，+∞）
g'（t） - 0 +
g（t） ↘ 极小值 ↗所以 g（t）=e^t-t的最小值为g（0）=1，
实数b的取值范围是b＜1．

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