偏导数连续是可微分充分条件为什么不是必要

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 04:35:05

这个条件是充分条件但不是必要条件,比如下面这个函数f(x,y),
函数的表达式为当x,y均为有理数时f(x,y)=x^2+y^2
当x,y中有一个变量为无理数时f(x,y)=0.
我们来考虑这个函数在（0,0）处的微分,显然⊿u=f(⊿x,⊿y)-f(0,0)=0*⊿x+0*⊿y+a,其中a的表达式为：当⊿x,⊿y都是有理数时,a=⊿x^2+⊿y^2；当⊿x,⊿y中有一个无理数时a=0.所以a为√⊿x^2+⊿y^2的高阶无穷小.这也就说明了函数f(x,y)在（0,0）是可微的.
另一方面,我们来考虑导数.
1.根据导数定义,我们可以证明函数f在（0,0）处对于x和y的偏导数都等于0.
2.在除（0,0）以外的所有有理数组点的偏导数都是不存在的,因为当x,y为有理数,⊿x以无理数方向趋于0时,⊿f=f(x+⊿x,y)-f(x,y)=-x^2-y^2,所以⊿f/⊿x的极限不存在.
综合1.2可以知道,f在（0,0）的任意一个领域内导数不满足连续条件,但f可微,所以那只是充分而非必要条件.

z=f(x,y)的两个偏导数在点(x,y)存在且连续是f(x,y)在该点可微分的充分条件.为什么不是充分必要条件? 高数：多元函数可微与偏导数连续的是充分还是必要,为什么, 二元函数微分问题,书上说可微的必要条件是在该点连续同时两个偏导数都存在,可微的充分条件是两个偏导数存在且连续,但看到辅导 z=f(x,y)的两个偏导数在点（x,y）存在且连续是F(x,y）在该点的可微分的充分条件函数Z=f(x,y)的两个偏导数在点(x,y)连续是f(x,y)在该点可微分的什么条件啊? 多元函数：偏导数存在、可微分、连续! 高数多元函数为什么偏导数连续是可微的充分不必要条件多元函数可微的问题f(x,y)在点（x0,y0）处偏导数存在且连续是在该点处可微的什么条件啊?答案应该是：充分条件.可是为什么A是B的充分条件,B就是A的必要条件,充分与必要是什么意思? 几道微积分基础题 55、可导函数在某一点的导数为零是函数在该点取到极值的（）.A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要偏导数存在并且函数连续就能说明函数可微分吗? 关于导数微分的意义微分和导数有什么区别?导数是曲线切线的斜率,为什么有的导数不是一次函数?