设函数f（x）=|x+a|-|x-4|，x∈R

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/19 04:12:00

设函数f（x）=|x+a|-|x-4|，x∈R
①当a=1时，解不等式f（x）＜2；
②若关于x的不等式f（x）≤5-|a+1|恒成立，求实数a的取值范围．

①∵f（x）=|x+1|-|x-4|=

5，x≥4
2x−3，−1＜x＜4
−5，x≤−1，
∴当x≥4时，5＜2，这是不可能的；
当-1＜x＜4时，2x-3＜2，解得-1＜x＜
5
2；
当x≤-1时，-5＜2恒成立，故x≤-1；
综上可得x＜
5
2，
∴当a=1时，不等式f（x）＜2的解集为（-∞，
5
2）；
②∵f（x）=|x+a|-|x-4|=|x+a|-|4-x|≤|（x+a）+（4-x）|=|a+4|，
要使f（x）≤5-|a+1|恒成立，须使|a+4|≤5-|a+1|，
即|a+4|+|a+1|≤5，
当a≤-4时，-（a+4）-（a+1）≤5，解得-5≤a≤-4；
当-4＜a＜-1时，a+4-（a+1）=3≤5恒成立，故-4＜a＜-1；
当a≥-1时，a+4+（a+1）=2a+5≤5，解得-1≤a≤0；
综上所述，-5≤a≤0．
∴实数a的取值范围为[-5，0]．

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