作业帮证明数列收敛,并求极限
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 18:39:49
证明数列收敛,并求极限
设a > 0 ,0 < X1< 1/a ,X n+1= X n (2 - a * X n) (n=1,2,…).证明｛X n｝收敛,并求lim(n→0)Xn.
设a > 0 ,0 < X1< 1/a ,X n+1= X n (2 - a * X n) (n=1,2,…).证明｛X n｝收敛,并求lim(n→0)Xn.
Xn+1=Xn×(2-a*Xn)=-a×(Xn-1/a)²+1/a
→ (1/a-Xn+1)=a×(1/a-Xn)²
令Yn=1/a-Xn,则Yn+1=a×Yn² (Y1=1/a-X1,n≥2)
∴Yn+1=a^(2*n-1)×Y1^(2*n)=1/a×(a*Y1)^(2*n)
∴Xn+1=1/a-1/a×(a*Y1)^(2*n)
∵Y1=1/a-X1,即,0＜Y1＜1/a
∴0＜a*Y1＜1
∴0＜(a*Y1)^(2*n)＜1
∴0＜Xn+1＜1/a
当n→+∞时,(a*Y1)^(2*n)→0,Xn+1→1/a
→ (1/a-Xn+1)=a×(1/a-Xn)²
令Yn=1/a-Xn,则Yn+1=a×Yn² (Y1=1/a-X1,n≥2)
∴Yn+1=a^(2*n-1)×Y1^(2*n)=1/a×(a*Y1)^(2*n)
∴Xn+1=1/a-1/a×(a*Y1)^(2*n)
∵Y1=1/a-X1,即,0＜Y1＜1/a
∴0＜a*Y1＜1
∴0＜(a*Y1)^(2*n)＜1
∴0＜Xn+1＜1/a
当n→+∞时,(a*Y1)^(2*n)→0,Xn+1→1/a