向量组a1,a2,.a8,线性无关

向量组a1,a2,.a8,线性无关
（1）a1+a2,a2+a3,.a7+a8,a8+a1 ,是否线性无关?为什么?
（2）a1+a2,a2+a3,.a6+a7,a7+a1 ,是否线性无关?为什么?

这类题目的一般处理方法
1. 观察
看是否有一组不全为零的数, 使得向量组的线性组合等于0
若存在, 则向量组线性相关
比如(1). 可以看出
(a1+a2)-(a2+a3)+(a3+a4)-(a4+a5)+(a5+a6)-(a6+a7)+(a7+a8)-(a8+a1) = 0.
所以向量组(1)线性相关.
但此方法对线性无关的向量组就无能为力了
不能靠观察来说明一个向量组线性无关
此时需方法
2. 用定义
比如(2). 步骤如下:
设 k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4+a5)+k5(a5+a6)+k6(a6+a7)+k7(a7+a1)=0
则 (k1+k7)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4+(k4+k5)a5+(k5+k6)a6+(k6+k7)a7=0.
由a1,a2,...,a8线性无关, 所以a1,a2,...,a7线性无关.
所以有
k1+k7=0
k1+k2=0
k2+k3=0
k3+k4=0
k4+k5=0
k5+k6=0
k6+k7=0
因为这个齐次线性方程组的系数行列式
1 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1 1
=2 ≠ 0.
故方程组只有零解.
即 k1=k2=k3=k4=k5=k6=k7=0
所以向量组(2)线性无关.
此方法同样适用于线性相关的情况
若系数行列式=0, 则方程组有非零解
即知:存在一组不全为0的数, 使得向量组的线性组合为0
参" 天使あ怪盗 "的解答.
3.绝招
有个结论: 若a1,...,as线性无关, (b1,...,bm)=(a1,...,as)P,P为s*m矩阵
则 r(b1,...,bm) = r(P).
应用时一般有s=m. 此时 b1,...,bm 线性无关 行列式 |P| ≠ 0.
应用到题目(2)看看:
(a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a5,a5+a6,a6+a7,a7+a1)
=(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7)P.
P =
1 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1 1
啊, 这不是上面那个齐次线性方程组的系数矩阵吗?
是的, 没错, 就是它, 绕来绕去根子就在这里呢!
因为|P|=2 ≠ 0. 所以向量组(2)线性无关.
再应用到向量组(1)试试看:
(a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a5,a5+a6,a6+a7,a7+a8,a8+a1)
=(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)P.
P =
1 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 1 1
|P| = 0. 所以向量组(1)线性相关.
当然, 你必须对行列式的计算比较熟练, 这是基础.
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