作业帮已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞）．
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/28 22:40:56
已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞）．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）设a≥1，函数g（x）=x2-3ax+2a2-5，若对于任意x0∈（0，1），总存在x1∈（0，1），使得f（x1）=g（x0）成立，求a的取值范围；
（3）对任意x∈（0，+∞），求证：
＜ln
＜
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）设a≥1，函数g（x）=x2-3ax+2a2-5，若对于任意x0∈（0，1），总存在x1∈（0，1），使得f（x1）=g（x0）成立，求a的取值范围；
（3）对任意x∈（0，+∞），求证：
| 1 |
| x+1 |
| x+1 |
| x |
| 1 |
| x |
（1）∵函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），∴f′（x）=
1
x−1令其为0可得x=1，
并且当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
故f（x）在x=1处取到极大值f（1）=0
（2）由（1）知，当x1∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
故f（x1）＜f（1）=0，
因为a≥1，函数g（x）=x2-3ax+2a2-5，为开口向上的抛物线，对称轴为x=
3a
2≥
3
2
故函数g（x）在区间（0，1）上为减函数，故g（1）＜g（x0）＜g（0），
即g（x0）＜2a2-5，
要使对于任意x0∈（0，1），总存在x1∈（0，1），使得f（x1）=g（x0）成立，
只需2a2-5＜0即可，解得−
10
2＜a＜
10
2，
结合a≥1可得1≤a＜
10
2
（3）由（1）可知f（x）在x=1处取到极大值f（1）=0，也是最大值，
故f（x）≤f（1）=0，即lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1，当x=1时取等号，
可证ln
x+1
x＝ln(1+
1
x)≤(1+
1
x)−1＝
1
x，又1+
1
x≠1，故ln
x+1
x＜
1
x
构造函数F（x）=
1
x+1−ln
x+1
x，则F′（x）=−
1
(x+1)2−
x
x+1(−
1
x2)=
1
x(x+1)2＞0
即函数F（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，当x趋向于正无穷大时，F（x）趋向于0，
故F（x）＜0，即
1
x+1＜ln
x+1
x，
故有
1
x+1＜ln
x+1
x＜
1
x
1
x−1令其为0可得x=1，
并且当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
故f（x）在x=1处取到极大值f（1）=0
（2）由（1）知，当x1∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
故f（x1）＜f（1）=0，
因为a≥1，函数g（x）=x2-3ax+2a2-5，为开口向上的抛物线，对称轴为x=
3a
2≥
3
2
故函数g（x）在区间（0，1）上为减函数，故g（1）＜g（x0）＜g（0），
即g（x0）＜2a2-5，
要使对于任意x0∈（0，1），总存在x1∈（0，1），使得f（x1）=g（x0）成立，
只需2a2-5＜0即可，解得−
10
2＜a＜
10
2，
结合a≥1可得1≤a＜
10
2
（3）由（1）可知f（x）在x=1处取到极大值f（1）=0，也是最大值，
故f（x）≤f（1）=0，即lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1，当x=1时取等号，
可证ln
x+1
x＝ln(1+
1
x)≤(1+
1
x)−1＝
1
x，又1+
1
x≠1，故ln
x+1
x＜
1
x
构造函数F（x）=
1
x+1−ln
x+1
x，则F′（x）=−
1
(x+1)2−
x
x+1(−
1
x2)=
1
x(x+1)2＞0
即函数F（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，当x趋向于正无穷大时，F（x）趋向于0，
故F（x）＜0，即
1
x+1＜ln
x+1
x，
故有
1
x+1＜ln
x+1
x＜
1
x