以△ABC等边AB、AC为腰向外作等腰直角三角形ABE和ACD,且AB=AE,AC=AD.M为BC边的中点.MA的延长线

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/28 16:14:32

以△ABC等边AB、AC为腰向外作等腰直角三角形ABE和ACD,且AB=AE,AC=AD.M为BC边的中点.MA的延长线交DE于N.
（1）当∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°时,线段AM与线段DE的数量关系与位置关系是（要证明过程）
（2）当∠BAC≠90°时求证线段AM与线段DE的数量关系与位置关系.
（3）若将条件中的“M为BC的中点”改为“MN⊥ED” 求证 M为BC的中点.
以上题目都要求写证明过程步骤要清楚.做完后我会追加30分的悬赏.
图图、

（1）证：AM=1/2 DE
∵∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°
∴∠DAE=90°
∴∠DAE=∠BAC
在△ADE和△ACB中,
AE=AB
∠DAE=BAC
AD=AC
∴△ADE≌△ACB(SAS)
∴DE=BC
在Rt△ABC中,
∵∠BAC=90°,AM是BC中线
∴AM=1/2 BC(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)
∵DE=BC
∴AM=1/2 DE
（2）证：AM=1/2 DE且AM⊥DE
延长AM至P,使AM=MP,连接BP
∵M是中点
∴BM=CM
∵∠AMC与∠BMP互为对顶角
∴∠AMC=∠BMP
在△AMC和△PMB中,
CM=BM
∠AMC=∠BMP
AM=MP
∴△AMC≌△PMB(SAS)
∴AC=BP,∠MAC=∠P
在△ABP中,
∵∠ABP+∠P+∠BAP=180°
∵∠MAC=∠P
∴∠ABP=180°-(∠MAC+∠BAP)
即∠ABP=180°-∠BAC
∵∠DAE=360°-∠BAE-∠CAD-∠BAC
∵∠BAE=∠CAD=90°
∴∠DAE=180°-∠BAC
∵∠ABP=180°-∠BAC
∴∠DAE=∠ABP
∵AD=AC,AC=BP
∴AD=BP
在△ADE和△BPA中,
AE=AB
∠DAE=∠ABP
AD=BP
∴△ADE≌△BPA (SAS)
∴DE=AP
∵AP=AM+MP,AM=MP
∴AP=2AM
∵DE=AP
∴DE=2AM
∴AM=1/2 DE
∵M、A、N三点共线
∴∠MAN=180°
∵∠BAE=90°
∴∠EAN+∠BAM=90°
∵△ADE≌△BPA
∴∠NEA=∠BAM
∴∠EAN+∠NEA=90°
∵∠AND是△AEN的外角
∴∠AND=∠EAN+∠NEA=90°
∴AM⊥DE
（3）证：AM=1/2 DE且AM⊥DE
倒着推就行了.