作业帮已知函数f（x）=lg1−x1+x．
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/16 07:34:34
已知函数f（x）=lg
| 1−x |
| 1+x |
（1）由
1−x
1+x＞0得，（x+1）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域是（-1，1），
因为f（-x）=lg
1+x
1−x=lg(
1−x
1+x)−1=-lg
1−x
1+x=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数；
（2）由f（x）≤1得，lg
1−x
1+x≤1=lg10，
所以
1−x
1+x＞0
1−x
1+x≤10，即
−1＜x＜1
1−x≤10+10x，解得-
9
11≤x＜1，
则实数x的取值范围是[-
9
11，1）；
（3）由10f（x）=ax得，
1−x
1+x=ax，且-1＜x＜1，
当x=0时，方程不成立；
当x≠0时，方程化为a=
1−x
x2+x，设g（x）=
1−x
x2+x，
则方程10f（x）=ax有实数解化为a=
1−x
x2+x在（-1，1）有实数解，
即实数k属于函数g（x）=
1−x
x2+x在（-1，1）上的值域，
则g′（x）=
−(x2+x)−(1−x)(2x+1)
(x2+x)2=
x2−2x−1
(x2+x)2，
令h（x）=x2-2x-1=0，解得x=
2±
4+4
2=1±
2，则x=1−
2，
所以当-1＜x＜1-
2时，h（x）＞0，则g′（x）＞0，
当1−
2＜x＜1时，h（x）＜0，则g′（x）＜0，
所以g（x）在区间（-1，1-
2）单调递增，在（1-
2，1）上单调递减，
则函数g（x）最小值是g（1-
2）=
1−(1−
2)
(1−
2)2+1−
2=−2
2−3，
又g（1）=0，g（-1）无意义，所以函数g（x）最大值是0，
所以函数g（x）的值域是[−2
2−3，0），
即实数a的取值范围是：[−2
2−3，0）．
1−x
1+x＞0得，（x+1）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域是（-1，1），
因为f（-x）=lg
1+x
1−x=lg(
1−x
1+x)−1=-lg
1−x
1+x=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数；
（2）由f（x）≤1得，lg
1−x
1+x≤1=lg10，
所以
1−x
1+x＞0
1−x
1+x≤10，即
−1＜x＜1
1−x≤10+10x，解得-
9
11≤x＜1，
则实数x的取值范围是[-
9
11，1）；
（3）由10f（x）=ax得，
1−x
1+x=ax，且-1＜x＜1，
当x=0时，方程不成立；
当x≠0时，方程化为a=
1−x
x2+x，设g（x）=
1−x
x2+x，
则方程10f（x）=ax有实数解化为a=
1−x
x2+x在（-1，1）有实数解，
即实数k属于函数g（x）=
1−x
x2+x在（-1，1）上的值域，
则g′（x）=
−(x2+x)−(1−x)(2x+1)
(x2+x)2=
x2−2x−1
(x2+x)2，
令h（x）=x2-2x-1=0，解得x=
2±
4+4
2=1±
2，则x=1−
2，
所以当-1＜x＜1-
2时，h（x）＞0，则g′（x）＞0，
当1−
2＜x＜1时，h（x）＜0，则g′（x）＜0，
所以g（x）在区间（-1，1-
2）单调递增，在（1-
2，1）上单调递减，
则函数g（x）最小值是g（1-
2）=
1−(1−
2)
(1−
2)2+1−
2=−2
2−3，
又g（1）=0，g（-1）无意义，所以函数g（x）最大值是0，
所以函数g（x）的值域是[−2
2−3，0），
即实数a的取值范围是：[−2
2−3，0）．