求所有正整数n,使得存在正整数X1,X2,…X2012,满足X1

求所有正整数n,使得存在正整数X1,X2,…X2012,满足X1

由于x1≥1,x2≥2,……,x2002≥2002,于是n≤1/1+2/2+……+2012/2012=2012
记集合S=（x1,x2,x3,……,x2002）,f(S)=1/X1＋2/X2＋…＋2012／X2012
由于2012=2×2×503,即2012有1、2、4、503、1006和2012共6个因子.于是
S=(1,2,3,……,2012)时,f(S)=2012
S=(1×2,2×2,3×2,……,2012×2)时,f(S)=2012÷2=1006
S=(1×4,2×4,3×4,……,2012×4)时,f(S)=2012÷4=503
S=(1×503,2×503,3×503,……,2012×2)时,f(S)=2012÷503=4
S=(1×1006,2×1006,3×1006,……,2012×1006)时,f(S)=2012÷1006=2
S=(1×2012,2×2012,3×2012,……,2012×2012)时,f(S)=2012÷2012=1
也就是说2012的所有6个因子1、2、4、503、1006和2012都是符合条件的n.
接下来采用放缩法证明所有小于等于2012的数字都是符合条件的n.
1.考虑S=(1,2,3,……,2012)的情形,此时f(S)=2012×1=2012
将S中最后2个元素(也就是最大的两个,下同)同乘以2,得到
S'=(1,2,3,……,2010,2011×2,2012×2),此时f(S')=f(S)-1/2-1/2=2012-1=2011
同理,将S中最后4个元素同乘以2,得到的f(S')=f(S)-1/2-1/2-1/2-1/2=2012-2=2010
……
将S中最后2010个元素同乘以2,得到的f(S')=f(S)-2010×(1/2)=2012-1005=1007
于是1007～2012的每一个自然数都是符合条件的n
2.考虑S=(1×2,2×2,3×2,……,2012×2)的情形,此时f(S)=2012×1/2=1006
对S重复上述的过程,依次将S中最后4个元素同乘以2、最后8个元素同乘以2、……,最后2008个元素同乘以2,得到的f(S)分别为1006-1=1005、1006-2=1004、……、1006-2008×1/4=504
于是504～1006的每一个自然数都是符合条件的n
3.考虑S=(1×4,2×4,3×4,……,2012×4)的情形,此时f(S)=2012×1/4=503
对S重复上述的过程,依次将S中最后8个元素同乘以2、最后16个元素同乘以2、……,最后2008个元素同乘以2,得到的f(S)分别为503-1=502、503-2=501、……、503-2008×1/8=252
于是252～503的每一个自然数都是符合条件的n
4.考虑S=(1×4,2×4,3×4,4×4,5×8,……,2012×8)的情形,此时f(S)=4×1/4+(2012-4)×1/8=252
对S重复上述的过程,依次将S中最后16个元素同乘以2、最后32个元素同乘以2、……、最后2000个元素同乘以2,得到的f(S)分别为252-1=251、252-2=250、……,253-2000×1/16=128
于是128～251的每一个自然数都是符合条件的n
5.考虑S=(1×4,2×4,……,12×4,13×16,……,2012×16)的情形,此时f(S)=12×1/4+(2012-12)×1/16=3+125=128
对S重复上述的过程,依次将S中最后32个元素同乘以2、最后64个元素同乘以2、……、最后1984个元素同乘以2,得到的f(S)分别为128-1=127、128-2=126、……,128-1984×1/32=66
于是66～127的每一个自然数都是符合条件的n
6.考虑S=(1×4,2×4,……,12×4,13×16,……,28×16,29×32,……,2012×32)的情形,此时f(S)=12×1/4+(28-12)×1/16+(2012-28)×1/32=3+1+62=66
对S重复上述的过程,依次将S中最后64个元素同乘以2、最后128个元素同乘以2、……、最后1984个元素同乘以2,得到的f(S)分别为66-1=65、66-2=64、……,66-1984×1/64=35
于是35～65的每一个自然数都是符合条件的n
7.考虑S=(1×4,2×4,……,12×4,13×16,……,28×16,29×64,……,2012×64)的情形,此时f(S)=12×1/4+(28-12)×1/16+(2012-28)×1/64=3+1+31=35
对S重复上述的过程,依次将S中最后128个元素同乘以2、最后256个元素同乘以2、……、最后1920个元素同乘以2,得到的f(S)分别为35-1=34、35-2=33、……,35-1920×1/128=20
于是20～34的每一个自然数都是符合条件的n
8.考虑S=(1×4,2×4,……,12×4,13×16,……,28×16,29×64,……,92×64,93×128,……,2012×128)的情形,此时f(S)=12×1/4+(28-12)×1/16+(92-28)×1/64+(2012-92)×1/128=3+1+1+15=20
对S重复上述的过程,依次将S中最后256个元素同乘以2、最后512个元素同乘以2、……、最后1792个元素同乘以2,得到的f(S)分别为20-1=19、20-2=18、……,20-1792×1/256=13
于是13～19的每一个自然数都是符合条件的n
9.考虑S=(1×4,2×4,……,12×4,13×16,……,28×16,29×64,……,92×64,93×128,……,220×128,221×256,……,2012×256)的情形,此时f(S)=12×1/4+(28-12)×1/16+(92-28)×1/64+(220-92)×1/128+(2012-220)×1/256=3+1+1+1+7=13
对S重复上述的过程,依次将S中最后512个元素同乘以2、最后1024个元素同乘以2、最后1536个元素同乘以2,得到的f(S)分别为13-1=12、13-2=11、13-3=10
于是10、11、12也是符合条件的n
10.考虑S=(1×4,2×4,……,12×4,13×16,……,28×16,29×64,……,92×64,93×128,……,220×128,221×256,……,476×256,477×512,……,2012×512)的情形,此时f(S)=12×1/4+(28-12)×1/16+(92-28)×1/64+(220-92)×1/128+(476-220)×1/256+(2012-476)×1/512=3+1+1+1+1+3=10
将S中最后1024个元素同乘以2,得到的f(S)=10-1=9,
于是9也是符合条件的n
11.考虑S=(1×4,2×4,……,12×4,13×16,……,28×16,29×64,……,92×64,93×128,……,220×64,221×256,……,476×256,477×512,……,988×512,989×1024,……,2012×1024)的情形,此时f(S)=12×1/4+(28-12)×1/16+(92-28)×1/64+(220-92)×1/128+(476-220)×1/256+(988-476)×1/512+(2012-988)×1/512=3+1+1+1+1+1+1=9
将S中第13项～92项同乘以2（此时依然符合x1＜x2＜……＜x2012的条件）,则f(S)第13项～92项的和由(28-12)×(1/16)+(92-28)×1/64=2变为(28-12)×(1/32)+(92-28)×1/128=1,比原来减少了1,f(S)=9-1=8
于是8也是符合条件的n
12.仍然考虑S=(1×4,2×4,……,12×4,13×16,……,28×16,29×64,……,92×64,93×128,……,220×128,221×256,……,476×256,477×512,……,988×512,989×1024,……,2012×1024)的情形,此时f(S)=9
将S中前12项同乘以3（由于12×4×3=144＜208=13×16,符合x1＜x2＜……＜x2012的条件）,则f(S)前12项的和由12×(1/4)=3变为12×(1/4)÷3=1,比原来减少了2,f(S)=9-2=7
于是7也是符合条件的n
13.考虑S=(1×12,2×12,……,12×12,13×16,……,28×16,29×64,……,92×64,93×128,……,220×128,221×256,……,476×256,477×512,……,988×512,989×1024,……,2012×1024)的情形,根据第12步的结果此时f(S)=7
将S中第13项～92项同乘以2（此时依然符合x1＜x2＜……＜x2012的条件）,则f(S)第13项～92项的和由(28-12)×(1/16)+(92-28)×1/64=2变为(28-12)×(1/32)+(92-28)×1/128=1,比原来减少了1,f(S)=7-1=6
于是6也是符合条件的n
14.考虑S=(1×12,2×12,……,12×12,13×32,……,28×32,29×128,……,220×128,221×256,……,476×256,477×512,……,988×512,989×1024,……,2012×1024)的情形,根据第12步的结果此时f(S)=6
将S中第13项～220项同乘以2（此时依然符合x1＜x2＜……＜x2012的条件）,则f(S)第13项～220项的和由(28-12)×(1/32)+(220-28)×1/128=2变为(28-12)×(1/64)+(220-28)×1/256=1,比原来减少了1,f(S)=6-1=5
于是5也是符合条件的n
14.根据前边结论,当S=(1×503,2×503,3×503,……,2012×2)时,f(S)=2012÷503=4,
将S中第1007项～2012项同乘以2,则f(S)第1007项～2012项的和由(2012-1006)×1/503=2变为(2012-1006)×1/503÷2=1,比原来减少了1,f(S)=4-1=3
于是3也是符合条件的n
综上,1～2012都是符合条件的n.