请教高中必修一数学的几道问题

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/30 07:00:36

请教高中必修一数学的几道问题
1.若函数F(X)的定义域为R,且满足F(X)-2F(X)=3X,则F(X)必为(答案奇函数)
2.定义域在R上的偶函数F(X),对任意X1 X2属于[0,正无穷）,X1≠X2 则有（X1-X2)(F(X1)-F(X2))＜0 ,则（答案 F(3)＜F(-2)＜F(1)）
3.若log1/2（a²+2a)＞-X²+2X对于任意的定义域都成立,求a的取值范围
以上求答案求解谢谢.

（1）由于函数F(X)的定义域为R,关于原点对称
∵F(X)-2F(X)=3X,∴F(X)=-3X 那么F(-X)=3x=-F(X)
故F(X)必为奇函数
（2）由于定义域在R上的偶函数F(X),对任意X1 X2属于[0,+∞）,X1≠X2 则有（X1-X2)(F(X1)-F(X2))＜0
所以（X1-X2)和(F(X1)-F(X2))异号
偶函数F(X)在[0,+∞）上为减函数
由于为偶函数,所以：
F(-2)=F(2)
∵1＜2＜3 所以：F(1)＞F(2)＞F(3）
所以F(1)＞F(-2)＞F(3）
（3）由题意知,-X²+2X=-（X²-2X）=-（X²-2X+1-1）=-（X-1）^2+1
因为（X-1）^2≥0 所以-（X-1）^2+1≤1
由于对于任意的定义域都成立,所以log1/2（a²+2a)＞1
所以log1/2（a²+2a)＞log1/2（1/2）
因为y=log1/2 x 在定义域内为减函数
所以a²+2a＜1/2
解得：-1-根号3＜a＜-1+根号3
再问：我发现我第一问打错了,如果是F(X)-2F(-X)=3X 又该怎么证呢
再答：因为F(X)-2F(-X)=3X ① 所以：F（-X）-2F(X)=-3X ② 联立①② 解得F（-X）=-X F(X)=X 所以F(-X)=-F(X) 故F(X)必为奇函数

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