求三重积分∫∫∫ z㏑(x^2+y^2+z^2+1)/(x^2+y^2+z^2+1)dv,其中v是上半个球x^2+y^2

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 00:15:56

求三重积分∫∫∫ z㏑(x^2+y^2+z^2+1)/(x^2+y^2+z^2+1)dv,其中v是上半个球x^2+y^2+z^2≤1且z>=0.

用球坐标：
∫∫∫ z㏑(x^2+y^2+z^2+1)/(x^2+y^2+z^2+1)dv
=∫∫∫ [rcosφln(r²+1)/(r²+1)]*r²sinφdrdφdθ
=∫ [0--->2π] dθ∫ [0--->π/2] sinφcosφdφ ∫[0---->1] r³ln(r²+1)/(r²+1)dr
=2π∫ [0--->π/2] sinφd(sinφ) ∫[0---->1] r³ln(r²+1)/(r²+1)dr
=πsin²φ∫[0---->1] r³ln(r²+1)/(r²+1)dr φ：[0--->π/2]
=π∫[0---->1] r³ln(r²+1)/(r²+1)dr
=(π/2)∫[0---->1] r²ln(r²+1)/(r²+1)d(r²)
令r²=u,u：0--->1
=(π/2)∫[0---->1] uln(u+1)/(u+1)du
=(π/2)∫[0---->1] (u+1-1)ln(u+1)/(u+1)du
=(π/2)∫[0---->1] ln(u+1)du-(π/2)∫[0---->1] ln(u+1)/(u+1)du
=(π/2)uln(u+1)-(π/2)∫[0---->1] u/(u+1)du-(π/2)∫[0---->1] ln(u+1) d[ln(u+1)]
=(π/2)uln(u+1)-(π/2)∫[0---->1] (u+1-1)/(u+1)du-(π/4)ln²(u+1)
=(π/2)uln(u+1)-(π/2)∫[0---->1] 1du+(π/2)∫[0---->1] 1/(u+1)du-(π/4)ln²(u+1)
=(π/2)uln(u+1)-(π/2)u+(π/2)ln(u+1)-(π/4)ln²(u+1) |[0---->1]
=(π/2)ln2-(π/2)+(π/2)ln2-(π/4)ln²2
=πln2-(π/2)-(π/4)ln²2

求三重积分∫dv,积分区域是由z=x^2+y^2,z=1/2*(x^2+y^2),x+y=±1,x-y=±1围成计算三重积分∫∫∫Z√（x∧2+y∧2）dv,其中Ω是由曲面z＝x∧2＋y∧2,平面z＝1所围成的立体三重积分计算I=∫∫∫(x+y+z)^2dv..设V:x^2+y^2+z^2 计算三重积分I=∫∫∫Ω(x^2+y^2+z^2)dv,其中Ω:x^2+y^2+z^2=a^2 计算三重积分∫∫∫z^2dv,其中Ω是曲面z=(x^2+y^2)^(1/2),z=1,z=2所围成的区域算三重积分∫∫∫(x^2+y^2)^(-0.5)dv,其中V为球面x^2+y^2+z^2=4与抛物面z=(x^2+y^2 【三重积分】∫∫∫=√（x^2+y^2)dv,其中Ω是曲面z=x^2+y^2,和平面z=1所围的立体. 高数三重积分问题例如三重积分为∫∫∫(x^2+y^2-+z^2)^2dv 是怎样等于∫∫∫（x^2+y^+z^2)dv 三重积分求体积,∫∫∫(y²+z²) dv,积分区域为由xoy面上的曲线y²=2x绕x轴旋在球面坐标系下计算三重积分∫∫∫Ωz^2dv,Ω：x^2+y^2+z^2≤R^2,x^2+y^2 ∫∫∫Ω√x^2+y^2+z^2dv,Ω是由球面x^2+y^2+z^2=z所围成的区域?用球面坐标变换求上述三重积分. 区域由z=x∧2+y ∧2 和 z=9围成求三重积分(x+y+z)dv