已知f(x)对一切x满足xf"(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x) 若f(x)在x=0处取极值,证明:x=0

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 23:49:10

已知f(x)对一切x满足xf"(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x) 若f(x)在x=0处取极值,证明:x=0是f(x)的极小值点

因为f''(x)存在,所以f'(x)是连续的.
由xf"(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x)得
f"(x)=[1-e^(-x)]/x-3[f'(x)]^2
可以看出当x不为零时,f''(x)也是连续的.
于是lim(x-->0)f''(x)=lim(x-->0){[1-e^(-x)]/x-3[f'(x)]^2}
=lim(x-->0){x/x-3[f'(x)]^2}=1>0.
所以由保号性,存在0点的一个空心邻域,
使得在这个空心邻域内有f''(x)>0,所以f'(x)单调递增.
根据取极值的必要条件知f'(0)=0,所以当x0时有,f'(x)>f(0)=0,所以函数f(x)单调递增.于是f(0)是函数f(x)的一个
极小值.

已知函数y=f(x)对一切x满足xf''(x)+x^2f'(x)=e^x-1,若f'(x)=0(x不等于0),则（）已知函数f(x)=ln(x+m),g(x)=e^x-1,F(x)=g(x)-f(x)在x=0处取得极值. 已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)e^(x-1) - f(0)x+(1/2)x^2 (2)若f(x)≥(1/2)x 已知函数f(x)=lnx(x>0),证明对一切x>0,有f(x)>1/e^x - 2/ex (e为自然对数的底数) 设函数f(x)对一切实数x,y满足f(xy)=xf(y)+yf(x)-xy且|f(x)-x|≤1,求函数f(x). 已知f(x)满足2f(x)+f(1/x)=3x,求f(x) 已知f(x)满足2f(x)+f(1/x)=3x,求f(x)? 已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=-3x+1,求f(x) 高数求救!已知函数y＝f（x）对一切x满足xf''（x）+3x（f'（x））∧2＝1－e∧（－x）,若f（x... f(x)定义在R上,对任意x y都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(x)在x=0处连续,证明f(x)对一切x均连已知函数f(x)满足2f(x/1)-f(x)=x ,x不等于0,则f(x)等于已知函数f(x)=e^x+2x^2-3x.求证：函数f（x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点