n阶方阵A对任意n维向量x,满足x^TAx=0,充要条件为AT=-A；

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/19 14:42:34

n阶方阵A对任意n维向量x,满足x^TAx=0,充要条件为AT=-A；
证明：
充分性：
f=x^TAx,显然有f=x^T（A^T）x,所以f= x^T（-A）x
即有：x^T（-A）x= x^TAx
所以 x^TAx=0
必要性：
x^TAx=0有x^T（A^T）x=0
所以 x^T（A+ A^T）x=0
（A+ A^T）^T= A+ A^T (实对称)
又x有任意性
所以 A+ A^T=0
点评：以上方法肯定是对的,但请看以下诡异的事件：
充要条件为 A=0
证明：
充分性：略
必要性：
x^TAx=0有x^T(A^T)x=0
x^TAxx^T(A^T)x=0
即：x^T(Ax) (Ax) ^Tx=0
(Ax) (Ax) ^T实对称
又x有任意性所以(Ax) (Ax) ^T=0
所以 Ax=0
又x有任意性所以 A=0

"又x有任意性所以(Ax) (Ax) ^T=0
所以 Ax=0"
这有问题,Ax是一个关于x变化的向量.
你令
A=
0 -1
1 0
就能得到反例

矩阵证明题：若n阶方阵满足AA^T=E,证明对任意n维列向量x,均有x^TAx=0. 设A是n阶方阵,若对任意的n维向量X均满足AX=0则A=0? 证明n阶方阵A为正交矩阵的充要条件是对任意n维列向量a都有|Aa|=|a| A为n阶反称矩阵,当且仅当对任意n维向量X,都有X^TAX=0.这个怎么证设A是n阶实数矩阵,若对所有n维向量X,恒有X^TAX=0,证明：A为反对称矩阵若n阶方阵A满足A^T=-A,则对任意n维向量a均有a^TAa=0 为什么证明：设A为n阶方阵,对于任意一个n维向量x=(x1,x2,…xn)T都有Ax=0,则A=0 证明：设A是一个n阶方阵,如果对任一个n维向量x,都有Ax=0,那么A=0 当A为n阶反对成矩阵时,对任意n维向量x有xAx’=0怎么证呢? 设A为n阶实对称矩阵,且A的行列式小于0,证明必有n维实向量x,使x^TAX小于0 设n阶矩阵A正定,X是任意n维非零列向量.则R(A X ; X^T 0)= 一道线性代数试题设A是n阶实矩阵,如果对任何n维非零实向量X,都有X^TAX〉0,求证｜A｜〉0.