已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞0，a≠1）．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/03 18:57:34

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调增区间；
（3）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

（1）∵f（x）=a^x+x²-xlna，
∴f′（x）=a^xlna+2x-lna，
∴f′（0）=0，f（0）=1
即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，
∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）
（2）由于f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna＞0
①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a^x-1）lna单调递增，故y=2x+（a^x-1）lna单调递增，
∴2x+（a^x-1）lna＞2×0+（a⁰-1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a^x-1）lna单调递增，故y=2x+（a^x-1）lna单调递增，
∴2x+（a^x-1）lna＞2×0+（a⁰-1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）
（3）因为存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，
所以当x∈[-1，1]时，|（f（x））_max-（f（x））_min|
=（f（x））_max-（f（x））_min≥e-1，（12分）
由（2）知，f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
所以当x∈[-1，1]时，（f（x））_min=f（0）=1，
（f（x））_max=max{f（-1），f（1）}，
而f（1）-f（-1）=（a+1-lna）-（
1
a+1+lna）=a-
1
a-2lna，
记g（t）=t-
1
t-2lnt（t＞0），
因为g′（t）=1+
1
t2-
2
t=（
1
t-1）²≥0（当t=1时取等号），
所以g（t）=t-
1
t-2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当a＞1时，f（1）＞f（-1）；
当0＜a＜1时，f（1）＜f（-1）（14分）
①当a＞1时，由f（1）-f（0）≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e，
②当0＜a＜1时，由f（-1）-f（0）≥e-1⇒
1
a+lna≥e-1⇒0＜a≤
1
e，
综上知，所求a的取值范围为a∈（0，
1
e]∪[e，+∞）．（16分）

答案看不懂.已知函数f（x）=ax+x²-xlna（a＞0,a≠1）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点, 已知函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）．已知函数f （x）=x3+32（1-a）x2-3ax+1，a＞0．已知函数f（x）=x2+ax（x≠0，a∈R）已知函数fx=a^x+x²-xlna,a＞1,（1）证明fx在(0,正无穷)上单调递增（2）函数y= 求函数f(x)=a^n(a>0,a不等于1）的导数.图中f'(x)=a^xlna怎么由上一步的来? 已知函数f（x）=ex（x2+ax-a），其中a是常数．基本初等函数导数公式中f（x）（a＞0,且a≠1,x＞0）,则f’（x）=1/xlna的推导公式已知函数f（x）=ax−1ax+1（a＞0且a≠1）．已知函数f（x）=lg（x2-2ax+a）．已知函数f（x）=x2-lnx-ax，a∈R．已知函数f（x）=lnx+x2-ax，a∈R．