作业帮已知函数f（x）=lnx-x-1．
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 19:49:16
已知函数f（x）=lnx-x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值
（Ⅱ）定义运算：
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值
（Ⅱ）定义运算：
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（Ⅰ）由f′（x）=
1
x-1=0，解得：x=1，
x＞1时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）递减，
0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）递增，
∴f（x）极大值=f（1）=-2；
（Ⅱ）①易知等价于证明：∃x0∈（1，+∞），f（x0）-f（
1
2）=0，
令K（x）=f（x）-f（
1
2），
则K（x）=lnx-x+ln2+
1
2，x＞1，
当x∈（1，+∞）时，K′（x）=
1
x-1＜0，
∴K（x）在（1，+∞）递减，
又∵K（1）＞1，K（e）＜0，
∴∃唯一的x0∈（1，e），使得K（x0）=0，
②易知F（x）=lnx，H（x）=ex，
∴m（ex-1）-ex，x＜1，
∵x＞0，∴ex-1＞0，
∴m＜
xex+1
ex−1，
令G（x）=
xex+1
ex−1，x＞0，
∴G′（x）=
ex(ex−x−2)
(ex−1)2，
再令R（x）=ex-x-2，x＞0，
当x＞0时，R′（x）=ex-1＞0，
∴R（x）=ex-x-2在x＞0上递增，
易知R（1）=e-3＜0，R（2）=e2-4＞0，
∴∃x1∈（1，2），使R（x1）=0，即ex1=x1+2，
当x∈（0，x1 ）时，R（x）＜0，G′（x）＜0，
当x∈（x1，+∞）时，R（x）＞0，G′（x）＞0，
∴G（x）最小值=G（x1 ）=x1+1，
又∵x1∈（1，2），∴2＜G（x1 ）＜3，
∴整数m的最大值为2．
1
x-1=0，解得：x=1，
x＞1时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）递减，
0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）递增，
∴f（x）极大值=f（1）=-2；
（Ⅱ）①易知等价于证明：∃x0∈（1，+∞），f（x0）-f（
1
2）=0，
令K（x）=f（x）-f（
1
2），
则K（x）=lnx-x+ln2+
1
2，x＞1，
当x∈（1，+∞）时，K′（x）=
1
x-1＜0，
∴K（x）在（1，+∞）递减，
又∵K（1）＞1，K（e）＜0，
∴∃唯一的x0∈（1，e），使得K（x0）=0，
②易知F（x）=lnx，H（x）=ex，
∴m（ex-1）-ex，x＜1，
∵x＞0，∴ex-1＞0，
∴m＜
xex+1
ex−1，
令G（x）=
xex+1
ex−1，x＞0，
∴G′（x）=
ex(ex−x−2)
(ex−1)2，
再令R（x）=ex-x-2，x＞0，
当x＞0时，R′（x）=ex-1＞0，
∴R（x）=ex-x-2在x＞0上递增，
易知R（1）=e-3＜0，R（2）=e2-4＞0，
∴∃x1∈（1，2），使R（x1）=0，即ex1=x1+2，
当x∈（0，x1 ）时，R（x）＜0，G′（x）＜0，
当x∈（x1，+∞）时，R（x）＞0，G′（x）＞0，
∴G（x）最小值=G（x1 ）=x1+1，
又∵x1∈（1，2），∴2＜G（x1 ）＜3，
∴整数m的最大值为2．