洛比达法则运用的条件

洛比达法则运用的条件

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关于洛必达法则适用条件.
在求取函数的极限时,洛必达法则是一个强有力的工具；但洛必达法则只适用于0/0和∞/∞
两种情况.·
①0/0型：
例：x0lim(tanx-x)/(x-sinx)【这就是所谓的0/0型,因为x0时,分子(tanx-x)0,分母x-sinx0】
=x0lim(tanx-x)′/(x-sinx)′=x0lim(secx-1)/(1-cosx)=x0limtanx/(1-cosx)【还是0/0型,继续用
洛必达】=x0lim[(2tanxsecx)/sinx]=x0lim(2secx)=2
②∞/∞型
例：x(π/2)lim[(tanx)/(tan3x)]【x(π/2)时tanx+∞,tan3x-∞,故是∞/∞型】
=x(π/2)lim[(tanx)′/(tan3x)′]=x(π/2)lim[(secx)/(3sec3x)]=x(π/2)lim[(cos3x)/3cosx]【0/0型】
=x(π/2)lim(-6cos3xsin3x)/(-6cosxsinx)]=x(π/2)lim[(sin6x)/(sin2x)]【还是0/0型】
=x(π/2)lim[(6cos6x)/(2cos2x)]=-5/(-2)=3
③0∞型,这种情况不能直接用洛必达,要化成0/(1/∞)或∞/(1/0)才能用.
例：x0+lim(xlnx)【x0+时,lnx-∞,故是0∞型】
=x0+lim[(lnx)/(1/x)]【x0+时(1/x)+∞,故变成了∞/∞型】
=x0+lim[(1/x)/(-1/x)]=x0+lim(-x)=0
④1^∞型,1^∞=e^[ln(1^∞)]=e^(∞ln1)=e^(∞0)
例：x0lim(1+mx)^(1/x)=x0lime^[(1/x)ln(1+mx)]【e的指数是0/0型,可在指数上用洛必达】
=x0lime^[m/(1+mx)]=e^m
⑤∞°型,∞°=e^(ln∞°)=e^(0ln∞)
例：x∞limm[x^(1/x)]=x∞lime^[(1/x)lnx]【e的指数是∞/∞型,可在指数上用洛必达】
=x∞lime^[(1/x)/1]=x∞lime^(1/x)°=e°=1
⑥0°型,0°=e^(ln0°)=e^(0ln0)=e^(0∞)
例：x0lim(x^x)=x0lime^(xlnx)=e
⑦∞－∞型,∞－∞=[1/(1/∞)-1/(1/∞)]=[(1/∞)-(1/∞)]/[(1/∞)(1/∞)=0/0]
例：x1lim[1/(lnx)-1/(x-1)]=x1lim[(x-1-lnx)]/[(x-1)lnx]【这 就成了0/0型】
=x1lim[1-(1/x)]/[lnx+(x-1)/x]=x1lim[(x-1)/(xlnx+x-1)]【还是0/0型】
=x1lim[1/(lnx+1+1)]=1/2