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设f(x)=ax(a>0且a≠1),g(x)为f(x)的反函数.

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/13 12:16:01
设f(x)=ax(a>0且a≠1),g(x)为f(x)的反函数.
(1)当a=e(e为自然对数的底数)时,求函数y=f(x)-x的最小值;
(2)试证明:当f(x)与g(x)的图象的公切线为一、三象限角平分线时,a=e
(1)由y=ex-x有y'=ex-1.
解ex-1=0得x=0
显见当x<0时,y'<0.当x>0时y'>0.
故y=ex-x在(-∞,0]单减,在(0,+∞)单增.
从而在x=0处取得极小值e°-0=1,同时也是最小值.
(2)显见,当0<a<1时,一三象限角平分线不可能是f(x)与g(x)的公切线,故a>1.
设切点为(x0,x0)由

ax0=x0    (1)
ax0lna=1 (2)有x0=logae代入 (1)
从而alogae=logae即e=logae.
故ae=e.有a=e
1
e.