已知,如图,抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA≠OB,OA=OC,设抛物线的顶点为点
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/01 03:38:51
已知,如图,抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA≠OB,OA=OC,设抛物线的顶点为点P,直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称.
(1)求p、q的值.
(2)在题中的抛物线上是否存在这样的点Q,使得四边形PAQD恰好为平行四边形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)连接PA、AC.问:在直线PC上,是否存在这样点E(不与点C重合),使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求p、q的值.
(2)在题中的抛物线上是否存在这样的点Q,使得四边形PAQD恰好为平行四边形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)连接PA、AC.问:在直线PC上,是否存在这样点E(不与点C重合),使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)在抛物线y=x2+px+q中,
当x=0时,y=q.即:C点的坐标为(0,q).
因为:OA=OC,D点与A点关于y轴对称.
所以:A点的坐标为(q,0);D点的坐标为(-q,0).
将A(q,0)代入y=x2+px+q中得:0=q2+pq+q
即:q(q+p+1)=0
所以:q=0,(不符合题意,舍去.)
q+p=-1 ①
现在求点P的坐标,即抛物线y=x2+px+q顶点的坐标:
横坐标:-
p
2;纵坐标:
4q−p2
4,
设直线CD的方程为y=kx+b
因为直线CD过C(0,q)、D(-q,0)两点,所以有方程组
q=b,0=-qk+b.
解得:k=1,b=q.
所以直线CD的解析式为:y=x+q.
因为点P在直线CD上,
所以
4q−p2
4=-
p
2+q
解得:p=0(不符合题意,舍去)
p=2 ②
又已经求得的①、②两等式得:p=2,q=-3.
因此;p、q的值分别为 2和-3.
(2)∵p=2,q=-3.
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3,
A、D、C、P四点的坐标分别为(-3,0)、(3,0)、(0,-3)、(-1,-4).
直线CD的方程式为y=x-3,
设:过A点与直线CD平行的直线AQ的方程为:
y=x+b(因两直线平行,所以一次项系数相等)
因为点A(-3,0)在直线AQ上,将其代入y=x+b中得:0=-3+b,解得:b=3
所以:直线AQ的方程为:y=x+3
下面求直线AQ(y=x+3)与抛物线y=x2+2x-3的交点Q的坐标:
解方程组y=x2+2x-3,y=x+3.得x1=2,y1=5;x2=-3,y2=0.
即:两交点为A(-3,0);Q(2,5).
下面再求A、Q两点距离和P、D两点距离:从图形可知
|AQ|=5
2,|PD|=4
2,
所以|AQ|≠|PD|
这说明AQ与PD不相等,所以在抛物线上不存在满足四边形APDQ是平行四边形的Q点.
(3)存在E点,且E点坐标为(9,6).
具体求解过程如下:
设E点是直线PC上的点,且满足AE垂直AP
求直线AP的方程,设直线AP的方程为y=kx+b
因为A(-3,0),P(-1,-4)两点在直线AP上,所以有方程组
0=-3k+b,-4=-k+b.解得:k=-2,b=-6.
所以直线AP的方程式为:y=-2x-6
因为直线AE垂直直线AC,所以两直线一次项系数之积等于-1
所以,设直线AE方程式为y=
1
2x+b
A(-3,0)点在直线AE上,所以b=
3
2,
所以直线AE的方程式为y=
1
2x+
3
2,
直线AE与直线CD相交于E点,解两直线方程组成的方程组得:x=9,y=6.
即E点的坐标为(9,6).
在三角形ACD中,因为OA=OD=OC,AD垂直CO,
所以∠ACD是直角,
在直角三角形APE中,AC是斜边PE上的高,
所以△APC∽△EPA.
当x=0时,y=q.即:C点的坐标为(0,q).
因为:OA=OC,D点与A点关于y轴对称.
所以:A点的坐标为(q,0);D点的坐标为(-q,0).
将A(q,0)代入y=x2+px+q中得:0=q2+pq+q
即:q(q+p+1)=0
所以:q=0,(不符合题意,舍去.)
q+p=-1 ①
现在求点P的坐标,即抛物线y=x2+px+q顶点的坐标:
横坐标:-
p
2;纵坐标:
4q−p2
4,
设直线CD的方程为y=kx+b
因为直线CD过C(0,q)、D(-q,0)两点,所以有方程组
q=b,0=-qk+b.
解得:k=1,b=q.
所以直线CD的解析式为:y=x+q.
因为点P在直线CD上,
所以
4q−p2
4=-
p
2+q
解得:p=0(不符合题意,舍去)
p=2 ②
又已经求得的①、②两等式得:p=2,q=-3.
因此;p、q的值分别为 2和-3.
(2)∵p=2,q=-3.
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3,
A、D、C、P四点的坐标分别为(-3,0)、(3,0)、(0,-3)、(-1,-4).
直线CD的方程式为y=x-3,
设:过A点与直线CD平行的直线AQ的方程为:
y=x+b(因两直线平行,所以一次项系数相等)
因为点A(-3,0)在直线AQ上,将其代入y=x+b中得:0=-3+b,解得:b=3
所以:直线AQ的方程为:y=x+3
下面求直线AQ(y=x+3)与抛物线y=x2+2x-3的交点Q的坐标:
解方程组y=x2+2x-3,y=x+3.得x1=2,y1=5;x2=-3,y2=0.
即:两交点为A(-3,0);Q(2,5).
下面再求A、Q两点距离和P、D两点距离:从图形可知
|AQ|=5
2,|PD|=4
2,
所以|AQ|≠|PD|
这说明AQ与PD不相等,所以在抛物线上不存在满足四边形APDQ是平行四边形的Q点.
(3)存在E点,且E点坐标为(9,6).
具体求解过程如下:
设E点是直线PC上的点,且满足AE垂直AP
求直线AP的方程,设直线AP的方程为y=kx+b
因为A(-3,0),P(-1,-4)两点在直线AP上,所以有方程组
0=-3k+b,-4=-k+b.解得:k=-2,b=-6.
所以直线AP的方程式为:y=-2x-6
因为直线AE垂直直线AC,所以两直线一次项系数之积等于-1
所以,设直线AE方程式为y=
1
2x+b
A(-3,0)点在直线AE上,所以b=
3
2,
所以直线AE的方程式为y=
1
2x+
3
2,
直线AE与直线CD相交于E点,解两直线方程组成的方程组得:x=9,y=6.
即E点的坐标为(9,6).
在三角形ACD中,因为OA=OD=OC,AD垂直CO,
所以∠ACD是直角,
在直角三角形APE中,AC是斜边PE上的高,
所以△APC∽△EPA.
已知,如图,抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA≠OB,OA=OC,设抛物线的顶点为点
已知抛物线y=ax^2+bx+c与X轴交于A,B两点,与Y轴交于点C,且OB=OC=0.5OA,那么b的值为多少?如图
如图,已知抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=2OA=4
:已知抛物线 ,与x轴交于点A(-1,0)、B两点,与y负半轴交于点C,且OA+OB=OC+1
抛物线y=1/2x²+px+q与y轴交于C点,与直线y=x相交于A、B两点,且OA=OB,AC‖x轴:(1)
如图抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OB=OC=3OA,求抛物线的解析式
数学题-2011.1.14 如图,抛物线y=1/2x^2+px+q与y轴交于点C,与直线y=x相交于A、B两点,且OA=
如图,顶点为D的抛物线y=x2+bx-3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,连结BC,已知OB=OC
如图,抛物线y=-二分之一x的平方+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴相较于点C,且OC的平方等于OA×OB
设二次函数y= x的平方加上Px加上q的图像与X轴的正半轴交于A B两点与y轴交于点c 且oa:ob;oc=1:2:3
设二次函数y=x²+px+q的图像与x轴的正半轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA:OB:OC=1:2:3
如图,已知抛物线y=1/2x^2+mx+n(n≠0)与直线y=x交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OB,且AC‖x轴