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设集合G中的元素是所有形如a+根号2b(a∈Z,b∈Z)的数,求证:

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/30 23:34:50
设集合G中的元素是所有形如a+根号2b(a∈Z,b∈Z)的数,求证:
若x∈G,y∈G,则x+y∈G,而1/x不一定属于集合G
设x=a+√2b (a∈Z,b∈Z),y=c+√2d (c∈Z,d∈Z),
则x∈G,y∈G,
∴x+y=(a+c)+√2(b+d),且(a+c)∈Z,(b+d)∈Z,
故x+y∈G.
设x=2+√2,显然x∈G,
但1/x=1/(2+√2)=(2-√2)/2=1-(1/2)√2
∵-1/2不属于Z,
∴1/x不属于集合G,
故1/x不一定属于集合G.