在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=根号6,D是棱CC1的中点,证明:A1D
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 11:57:10
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=根号6,D是棱CC1的中点,证明:A1D⊥平面AB1C1
求二面角B-AB1-C1
求二面角B-AB1-C1
第一个问题:
令AD与AC1的交点为E.
∵∠ACB=90°、BC=1、AB=2,∴∠BAC=30°,∴AC=√3.
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,
∴∠CC1A1=∠AA1C1=90°、CC1=AA1=√6、A1C1=AC=√3,
又CD=C1D,∴C1D=CC1/2=√6/2.
∴tan∠A1DC1=A1C1/C1D=√3/(√6/2)=2/√2=√2.
tan∠AC1A1=AA1/A1C1=√6/√3=√2.
∴tan∠A1DC1=tan∠AC1A1,显然,∠A1DC1、∠AC1A1都是锐角,
∴∠A1DC1=∠AC1A1,又∠DA1C1=∠C1A1D,∴∠DC1A1=∠C1EA1=90°,
∴A1D⊥AC1.
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,∴BC⊥CC1、又BC⊥AC、BC∩AC=C,∴BC⊥平面AA1C1C.
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,∴BC∥B1C1,
∴B1C1⊥平面AA1C1C,而A1D在平面AA1C1C上,∴A1D⊥B1C1.
由A1D⊥AC1、A1D⊥B1C1、AC1∩B1C1=C1,得:A1D⊥平面AB1C1.
第二个问题:
过C1作C1F⊥AB1交AB1于F,过F作FG⊥AB1交BB1于G.
∵AA1⊥A1C1、AA1=√6、A1C1=√3,∴AC1=√(AA1^2+AC1^2)=√(6+3)=3.
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,∴BB1=AA1=√6、∠ABB1=90°.
∴AB1=√(AB^2+BB1^2)=√(4+6)=√10.
∵B1C1⊥平面AA1C1C,∴AC1⊥B1C1,∴AC1×B1C1=AB1×C1F,
∴C1F=AC1×B1C1/AB1=3×1/√10=3/√10.
∴B1F=√(B1C1^2-C1F^2)=√(1-9/10)=1/√10.
∵∠GB1F=∠AB1B、∠GFB1=∠ABB1=90°,∴△GFB1∽△ABB1,∴GF/FB1=AB/BB1,
∴GF=AB×FB1/BB1=1×(1/√10)/√6=1/(2√15).
∴GB1=√(B1F^2+GF^2)=√(1/10+1/60)=√7/(2√15).
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,∴∠C1B1G=90°,
∴C1G=√(B1C1^2+GB1^2)=√(1+7/60)=√67/(2√15).
由余弦定理,有:
cos∠C1FG=(GF^2+C1F^2-C1G^2)/(2GF×C1F)
=(1/60+9/10-67/60)/{2×[1/(2√15)][3/√10]}
=-(12/60)/(12×5√6)=-1/(300√6)=-√6/1800.
∵C1F⊥AB1、GF⊥AB1,∴∠C1FG是二面角B-AB1-C1的平面角,
∴二面角B-AB1-C1的大小为arccos(-√6/1800).
令AD与AC1的交点为E.
∵∠ACB=90°、BC=1、AB=2,∴∠BAC=30°,∴AC=√3.
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,
∴∠CC1A1=∠AA1C1=90°、CC1=AA1=√6、A1C1=AC=√3,
又CD=C1D,∴C1D=CC1/2=√6/2.
∴tan∠A1DC1=A1C1/C1D=√3/(√6/2)=2/√2=√2.
tan∠AC1A1=AA1/A1C1=√6/√3=√2.
∴tan∠A1DC1=tan∠AC1A1,显然,∠A1DC1、∠AC1A1都是锐角,
∴∠A1DC1=∠AC1A1,又∠DA1C1=∠C1A1D,∴∠DC1A1=∠C1EA1=90°,
∴A1D⊥AC1.
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,∴BC⊥CC1、又BC⊥AC、BC∩AC=C,∴BC⊥平面AA1C1C.
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,∴BC∥B1C1,
∴B1C1⊥平面AA1C1C,而A1D在平面AA1C1C上,∴A1D⊥B1C1.
由A1D⊥AC1、A1D⊥B1C1、AC1∩B1C1=C1,得:A1D⊥平面AB1C1.
第二个问题:
过C1作C1F⊥AB1交AB1于F,过F作FG⊥AB1交BB1于G.
∵AA1⊥A1C1、AA1=√6、A1C1=√3,∴AC1=√(AA1^2+AC1^2)=√(6+3)=3.
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,∴BB1=AA1=√6、∠ABB1=90°.
∴AB1=√(AB^2+BB1^2)=√(4+6)=√10.
∵B1C1⊥平面AA1C1C,∴AC1⊥B1C1,∴AC1×B1C1=AB1×C1F,
∴C1F=AC1×B1C1/AB1=3×1/√10=3/√10.
∴B1F=√(B1C1^2-C1F^2)=√(1-9/10)=1/√10.
∵∠GB1F=∠AB1B、∠GFB1=∠ABB1=90°,∴△GFB1∽△ABB1,∴GF/FB1=AB/BB1,
∴GF=AB×FB1/BB1=1×(1/√10)/√6=1/(2√15).
∴GB1=√(B1F^2+GF^2)=√(1/10+1/60)=√7/(2√15).
∵ABC-AB1C1是直三棱柱,∴∠C1B1G=90°,
∴C1G=√(B1C1^2+GB1^2)=√(1+7/60)=√67/(2√15).
由余弦定理,有:
cos∠C1FG=(GF^2+C1F^2-C1G^2)/(2GF×C1F)
=(1/60+9/10-67/60)/{2×[1/(2√15)][3/√10]}
=-(12/60)/(12×5√6)=-1/(300√6)=-√6/1800.
∵C1F⊥AB1、GF⊥AB1,∴∠C1FG是二面角B-AB1-C1的平面角,
∴二面角B-AB1-C1的大小为arccos(-√6/1800).
在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC= √3,BC=1,CC1=√6,D是CC1的中点.求证:A1D
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点
如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,E是棱CC1上的动点,F是AB的中点,AC=BC=2,AA1
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1=AC=BC,∠ACB=90°,P是AA1的中点,Q是AB的中点.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是棱AB的中点,BC=1,AA1=根号3 .求直线A1D与平面 BB1C1C所成角
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ABC=90度,AB=BC=AA1=2,D是AB的中点.
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°,E为BB1的中点,点D在AB上,且DE=根号3
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,角ACB=90°,AC=1,AA1=根号2,D为AB的中点.
如图所示 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,角ACB=90度,AC=6,BC=CC1=根号2,p是BC
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=2,D 是A1B1中点.
在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC=AA1=6,BC=4,D是BC的中点,F是CC1上一点且Cf=4
如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=2,AB=AC=1,∠BAC=900,点M是BC的中点,点N在侧棱CC1