一道高中数学题1^2+3^2+5^2+.(2n+1)^2=?

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/04 13:07:58

一道高中数学题1^2+3^2+5^2+.(2n+1)^2=?
打不出上标点,所以用^2表示求平方
比如：3＾2表示3的平方
答案＝(n+1)(2n+1)(2n+3)/3
我想知道怎么算出来的,

在解这个题之前,你应该知道数列
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
这个等式成立吧!
这个等式是数列中的基本等式,证明在数学书上应该有的.
若没有的话参考：http://zhidao.baidu.com/question/14256442.html
我不再重复证明了.
那么很容易得到1^2+3^2+5^2+.(2n+1)^2=(n+1)(2n+1)(2n+3)/3
解答过程如下：
因
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
则
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……+(2n)^2+(2n+1)^2=1/6(2n+1)[(2n+1)+1][2(2n+1)+1]
化简后
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……+(2n)^2+(2n+1)^2=1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)
即
[1^2+3^2+5^2+.+(2n+1)^2]+[2^2+4^2+6^2+.+(2n)^2]=1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)
即
[1^2+3^2+5^2+.+(2n+1)^2]+4(1^2+2^2+3^2+.+n^2)=1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)
将已知等式1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……n^2=1/6n(n+1)(2n+1)代入
得
[1^2+3^2+5^2+.+(2n+1)^2]+2/3n(n+1)(2n+1)=1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)
所以
1^2+3^2+5^2+.+(2n+1)^2 = 1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)-2/3n(n+1)(2n+1)
=(n+1)(2n+1)(2n+3)/3
证毕!

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