为什么泰勒级数要在X0处展开?为什么是（x-x0）而不直接是（x）?

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 09:04:48

为什么泰勒级数要在X0处展开?为什么是（x-x0）而不直接是（x）?
疑惑~
f（x）=f（x0）+f`(x0)f(x-x0).

首先我们来看近似计算公式
f(x)-f(x0)=f'(x0)(x-x0)+ο(x-x0）（x→x0)
当f(x0)≠0时,f'(x0)(x-x0)是f(x)-f(x0)的主部,但当f(x0)=0时,f'(x0)(x-x0)的主部就不能直接确定.于是就引进泰勒公式f(x)-f(x0)
用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数,从而可以进行近似计算,也可以计算极限值
可见泰勒公式主要是为解决无穷量问题
而x-x0在x→x0为无穷小量,泰勒级数要在x0处展开成幂级数,是为了构造无穷小量（x-x0）,从而确定f(x)-f(x0)在f(x0)=0时的主部
泰勒公式在x=x0处展开为
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(1/2!)f''(x0)(x-x0)^2+…+(1/n!)f(n)(x0)(x-x0)^n+…
泰勒公式在x=a处展开为
下面证明,为了方便表示幂,我这儿改x0为a
设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+…①
令x=a则a0=f(a)
将①式两边求一阶导数,得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+…②
令x=a,得a1=f'(a)
对②两边求导,得
f"(x)=2!a2+a3(x-a)+…
令x=a,得a2=f''(a)/2!
……
……
同理可得an=f(n)(a)/n!
所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2!](x-a)^2+…+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+…
替换a与x0得：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(1/2!)f''(x0)(x-x0)^2+…+(1/n!)f(n)(x0)(x-x0)^n+…
注意：故解决无穷量问题,级数问题时为什么泰勒级数要在x0处展开成幂级数.解决其他问题并不一定要从x0处展开.如当做拉格朗日微分中值定理使用.

泰勒公式为什么是关于（X-X0）的多项式? 泰勒公式中的一个问题x→x0时,o(x-x0)=a2(x-x0)^2+o((x-x0)^2) 是为什么? 将下列函数在点x0展开为泰勒级数：ln(2+2x+x^2)^(-1) x0=-1 ; lnx x0=2; 求函数f(x)=1/x展开为x0=3的泰勒级数牛顿法求高次方程的根,在算法框图中精度Z=|(X1-X0)/X0|,不应该直接是是Z=|X1-X0|吗,为什么要除以X0 泰勒公式展开式在0点的展开式不就是 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...Fn(x0)/n!(x-x0 高数：泰勒展开泰勒展开可以刻画在x0附近的函数近似值.但是为什么要用泰勒函数来研究呢?直接代入值不就能算出准确的吗?它存函数 f（x）,在x= x0处,f'(X0)=0是 f（x）在 x= x0有极值点的什么条件? 泰勒公式证明中的问题本人菜鸟.对 Pn（x）=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+……an(x-x0)^n 在 F（X）在X0点处有定义,是F（X）在X0处极限存在的（）条件设f(x)有三阶导数,当x趋于x0时,f(x)是x-x0的二阶无穷小,问f(x)在x0处的泰勒展开式有何特点? 将ln(1/(2+2x+x^2))在指定点x0=-1展开为泰勒级数,请给出过程,