作业帮求解一道卷积的题f(t)=t^2 t≥0g(t)=u(t-1) t≥0求f*g不好意思 忘了说了 u(t-1) 是单位单
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 02:03:46
求解一道卷积的题
f(t)=t^2 t≥0
g(t)=u(t-1) t≥0
求f*g
不好意思 忘了说了 u(t-1) 是单位单位阶跃函数 u(t)=1 t≥0
=0 t＜0
f(t)=t^2 t≥0
g(t)=u(t-1) t≥0
求f*g
不好意思 忘了说了 u(t-1) 是单位单位阶跃函数 u(t)=1 t≥0
=0 t＜0
默认没给定义的地方都取0.
由卷积的定义,f*g(s) = ∫{-∞,+∞} f(t)g(s-t)dt.
当t < 0,有f(t) = 0,于是上式可化为∫{0,+∞} t²g(s-t)dt.
而当s-t < 0,有g(s-t) = 0.
于是当s ≥ 0,上式可进一步化为∫{0,s} t²g(s-t)dt = ∫{0,s} ut²(s-t-1)dt = u(s-1)s³/3-us^4/4.
而当s < 0,对任意t ≥ 0有s-t < 0,g(s-t) = 0,故∫{0,+∞} t²g(s-t)dt = 0.
因此f*g(s) = us³(s-4)/12 当s ≥ 0.
f*g(s) = 0,当s < 0.
再问： 不好意思 忘了说了 u(t-1) 是单位单位阶跃函数 u(t)=1 t≥0 =0 t＜0
再答： g(t) = 0, 当t < 1, g(t) = 1, 当t ≥ 1. 从化到∫{0,+∞} t²g(s-t)dt开始. 当s-t < 1, 有g(s-t) = 0. 于是当s ≥ 1, 上式可化为∫{0,s-1} t²g(s-t)dt = ∫{0,s-1} t²dt = (s-1)³/3. 而当s < 1, 对任意t ≥ 0有s-t < 1, g(s-t) = 0, 故∫{0,+∞} t²g(s-t)dt = 0. 因此f*g(s) = (s-1)³/3 当s ≥ 1, f*g(s) = 0, 当s < 1. 也可以合并为f*g(s) = u(s-1)·(s-1)³/3.
由卷积的定义,f*g(s) = ∫{-∞,+∞} f(t)g(s-t)dt.
当t < 0,有f(t) = 0,于是上式可化为∫{0,+∞} t²g(s-t)dt.
而当s-t < 0,有g(s-t) = 0.
于是当s ≥ 0,上式可进一步化为∫{0,s} t²g(s-t)dt = ∫{0,s} ut²(s-t-1)dt = u(s-1)s³/3-us^4/4.
而当s < 0,对任意t ≥ 0有s-t < 0,g(s-t) = 0,故∫{0,+∞} t²g(s-t)dt = 0.
因此f*g(s) = us³(s-4)/12 当s ≥ 0.
f*g(s) = 0,当s < 0.
再问： 不好意思 忘了说了 u(t-1) 是单位单位阶跃函数 u(t)=1 t≥0 =0 t＜0
再答： g(t) = 0, 当t < 1, g(t) = 1, 当t ≥ 1. 从化到∫{0,+∞} t²g(s-t)dt开始. 当s-t < 1, 有g(s-t) = 0. 于是当s ≥ 1, 上式可化为∫{0,s-1} t²g(s-t)dt = ∫{0,s-1} t²dt = (s-1)³/3. 而当s < 1, 对任意t ≥ 0有s-t < 1, g(s-t) = 0, 故∫{0,+∞} t²g(s-t)dt = 0. 因此f*g(s) = (s-1)³/3 当s ≥ 1, f*g(s) = 0, 当s < 1. 也可以合并为f*g(s) = u(s-1)·(s-1)³/3.
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