作业帮若a为整数,则a^3- a能被6整除吗?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/26 19:35:26
若a为整数,则a^3- a能被6整除吗?
请作出判断,并说明理由.
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a^3-a=a(a^2-1)=a(a+1)(a-1)
1.若a=0,则原式可被6整除
设n为正整数
2.若a=3n,则原式=3n(3n+1)(3n-1)
(1)若n为奇数,则3n+1和3n-1为偶数,可以被2整除,3n可以被3整除,原式可被6整除
(2)若n为偶数,则3n可以被6整除,原式可被6整除
3.若a=3n+1,则原式=(3n+1)(3n+2)(3n)
(1)若n为奇数,则3n+1为偶数,可以被2整除,3n可以被3整除,原式可被6整除
(2)若n为偶数,则3n可以被6整除,原式可被6整除
4.若a=3n+2,则原式=(3n+2)(3n+3)(3n+1)
(1)若n为奇数,则3n+1和3n+3为偶数,可以被2整除,3n+3可以被3整除,原式可被6整除
(2)若n为偶数,则3n+3可以被3整除,3n+2可以被2整除,原式可被6整除
综上所述,a^3-a能被6整除
1.若a=0,则原式可被6整除
设n为正整数
2.若a=3n,则原式=3n(3n+1)(3n-1)
(1)若n为奇数,则3n+1和3n-1为偶数,可以被2整除,3n可以被3整除,原式可被6整除
(2)若n为偶数,则3n可以被6整除,原式可被6整除
3.若a=3n+1,则原式=(3n+1)(3n+2)(3n)
(1)若n为奇数,则3n+1为偶数,可以被2整除,3n可以被3整除,原式可被6整除
(2)若n为偶数,则3n可以被6整除,原式可被6整除
4.若a=3n+2,则原式=(3n+2)(3n+3)(3n+1)
(1)若n为奇数,则3n+1和3n+3为偶数,可以被2整除,3n+3可以被3整除,原式可被6整除
(2)若n为偶数,则3n+3可以被3整除,3n+2可以被2整除,原式可被6整除
综上所述,a^3-a能被6整除