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速求解一道高中圆锥曲线题 要详解过程

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 00:38:22
速求解一道高中圆锥曲线题 要详解过程
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0交与A,B两点,M为线段AB的中点,且直线OM的斜率为1/4
（1）求椭圆的离心率
（2）若椭圆的一个焦点到椭圆上一点距离的最小值为2-√3,且椭圆上有一点P与A,B构成三角形,求三角形PAB面积的最大值
（1）设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0交与A,B两点,
A(x1,y1),B(x2,y2),中点坐标M（x0,y0）,
则有x0=(x1+x2)/2 y0=(y1+y2)/2直线OM的斜率为1/4,
则直线OM的方程为y=1/4xM点也在直线x+y-1=0
联立两式求得 x0=4/5 y0=1/5 即(x1+x2)/2=4/5 (y1+y2)/2=1/5
x1+x2=2/5 y1+y2=1/10
将A,B 两点的坐标代入
方程x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减的(x1-x2)(x1+x2)/a^2+(y1-y2)(y1+y2)/b^2=0
则(x1-x2)*2/5/a^2+(y1-y2)*1/10/b^2=0(y1-y2)/(x1-x2)=-4b^2/a^2
A,B两点都在直线x+y-1=0上,(y1-y2)/(x1-x2)就表示直线x+y-1的斜率,显然斜率为-1
即(y1-y2)/(x1-x2)=-4b^2/a^2=-1
a^2=4b^2 c^2=a^2-b^2=3b^2
椭圆的离心率e=c/a=√c^2/a^2=√3/2
(2) 若椭圆的一个焦点到椭圆上一点距离的最小值为2-√3,即a-c=2-√3
且e=c/a=√c^2/a^2=√3/2联立两式求得
a=2 c=√3 b=1
椭圆的方程为x^2/4+y^2=1与直线x+y-1=0联立求得 x1=0 y1=1
x2=8/5 y2=-3/5
可求得线段AB的长度|AB|=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=8√2/5
要使得PAB三角形的面积最大,即点P到AB的距离最大,
由此可设直线y=-x+k与椭圆刚好相切时所产生的交点P可使得点P到AB的距离最大,根据画图可看出直线y=-x+k与椭圆在左下相切符合题意,显然k
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