一个正四面体的四个顶点分别在四个互相平行的平面上...

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 03:12:33

一个正四面体的四个顶点分别在四个互相平行的平面上...
一个正四面体的四个顶点分别在四个互相平行的平面上,每两相邻平行平面的距离都为H,求四面体各棱长.

为了便于叙述及运算方便,设正四面体由高到底的四个顶点分别为A、B、D、C,棱长为6a．并且设第二个平面截正四面体所得的截面三角形BC′D′,由已知等距离的四个平行平面及根据比例计算可得AB＝6a,AC′＝2a,AD′＝3a,则由余弦定理计算可知,BC′＝根号28·a,C′D′＝根号7·a,D′B＝根号27·a．再计算cos∠CD′B＝1/根号27,从而得sin∠CD′B＝2·根号5/根号27．因此△BC′D′的面积为1/2×（根号7·a）×（根号27·a）×（2·根号5/根号27）＝3·根号5·a＾2．
下面再计算四面体A-BC′D′的体积：原来的正四面体的体积为“根号2/12×（6a）＾3”＝18·根号2·a^3,根据共角两个四面体及棱长比例关系可计算四面体A-BC′D′的体积为1×（1/2）×（1/3）×18·根号2·a^3＝6·根号2·a^3．
由已知可知,四面体A-BC′D′底面BC′D′高的长为H,因此
6·根号2·a^3＝1/3×（3·根号5·a＾2）×H
因此6a＝（根号10/2）·H
即原正四面体的棱长为（根号10/2）·H．